Trigonometria:

Esquema

Propiedades y relaciones:
- Algebraicas
-  Trigonométricas

Razones recíprocas

Transformaciones

Resumen de las propiedades y relaciones

Resumen de las relaciones entre lados y ángulos

Fórmula fundamental

Otras relaciones trigonométricas

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Una vez definidas las razones trigonométricas

sen B     = b/a         (1)
cos B     = c/a          (2)
tg B       = b/c         (3)
sec B     = a/c          (4) 
cosec B   = a/b        (5) 
ctg B      = c/b        (6)

procedemos a estudiar las relaciones entre ellas y otras propiedades derivadas de las transformaciones obtenidas al aplicar las propiedades algebraicas que se expresan a continuación:  

Distingo	Texto de la propiedad:
(a)	Si multiplicamos miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad
(b)	Si multiplicamos los dos miembros de una igualdad, por una misma expresión distinta de cero, resulta otra igualdad
(c)	Si dividimos miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad
(d)	Si dividimos los dos miembros de una igualdad por una misma expresión, distinta de cero, resulta otra igualdad
(e)	Si los miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente natural, resulta otra igualdad
(f)	Si se suman miembro a miembro dos igualdades resulta otra igualdad

NOTA: En lo que sigue se utilizan los símbolos x para el producto, no confundir con la letra (x). El símbolo / se utiliza para el cociente. 

Si a las expresiones (1) y (5); (2) y (4); (3) y (6) le aplicamos la propiedad (a) resulta:

NOTA: Recordamos que las razones trigonométricas son números abstractos o adimensionales.

Si el producto de dos números es igual a la unidad, tales números se denominan recíprocos. 

Algunos autores le llaman inversos; para evitar confusiones que más adelante explicaré, elegimos la denominación de recíprocos.

En virtud de lo anterior, enunciamos las siguientes propiedades:

Esto quiere decir que: si conocemos los valores del seno, el coseno y la tangente de un ángulo podremos determinar por un simple cálculo los valores correspondientes de la cosecante, secante y cotangente del mismo ángulo y recíprocamente: si conocemos los valores de la cosecante, secante y cotangente del mismo ángulo podremos determinar por un simple cálculo los valores correspondientes del seno, coseno y tangente.

NOTA: Toda transformación matemática se obtiene como resultado de aplicar alguna propiedad

NOTA: Las dos transformaciones anteriores se conocen con el nombre de uso común: “despejar una incógnita”. Observa que por aplicación de la propiedad anterior, la cosec B que “multiplica” en el primer miembro ha pasado al segundo: “dividiendo”, así  hemos aislado (“despejado”) en el primer miembro de la (10), el seno y en la (11), la cosecante.

NOTA: Observa que para obtener el recíproco de un numero, si es entero, dividimos la unidad por ese entero y si es fraccionario invertiremos la fracción.

Razones Trigonométricas  de B		Fórmulas		Primeras relaciones
Nombre	Símbolo
Seno	sen B	b/a	cateto opuesto/ hipotenusa	sen B x cosec B =1 sen B = 1/cosec B
Coseno	cos B	c/a	cateto contiguo/ hipotenusa	cos B x  sec B = 1 cos B = 1/sec B
Tangente	sen B tg B = ------           cos B	b/c	cateto opuesto/ cateto contiguo	tg B x  ctg B = 1 tg B  =  1/ctg B
Cotangente	cos B ctg B = ------            sen B	c/b	cateto contiguo/ cateto opuesto	tg B x  ctg B = 1 ctg B =  1/tg B
Secante	sec B =  1/cos B	a/c	hipotenusa/ cateto contiguo	cos B x sec B = 1 sec B =  1/cos B
Cosecante	cosec B = 1/sen B	a/b	hipotenusa/ cateto opuesto	sen B x cosec B =1 cosec B = 1/sen B

OBSERVACION: Parece necesario resaltar que cuando nos referimos a los lados del triángulo con las letras a, b, c, unas veces designo al lado y otras a su longitud. Análogamente con A, B, C, unas veces me refiero al ángulo y otras a su valor.

NOTA 1: En el cuadro anterior está resumida la Trigonometría que se necesita conocer para  el 90% de las aplicaciones más usuales.

NOTA 2:  Las fórmulas descritas no son más que expresiones tautológicas; esto es, expresiones equivalentes escritas de otra forma.

Con lo expuesto se pueden resolver bastantes ejercicios y problemas Si quiere seguir por el campo de las aplicaciones haga clik aquí.

Cuadro nº 3:  Resumen de las relaciones entre los lados del triángulo rectángulo y las razones trigonométricas de uno de sus ángulos agudos:

Si a cada una de las igualdades de la izquierda se le aplica la propiedad (b),  para lo cual se multiplican los dos miembros por el denominador del primer miembro, obtenemos después de simplificar, la columna de la derecha:

Simplificando, en el primer miembro quedaría aislada la b y el segundo queda como está, luego 

Como ejemplo he resuelto el primer caso y análogamente se obtienen los restantes de la derecha:

Si en vez de referirnos al ángulo B consideramos el ángulo C, podemos reconstruir todo lo dicho para el ángulo B considerando el ángulo C; sin embargo, para usar con eficacia el trabajo realizado

¿Cuál ha de ser la estrategia para escribir directamente las fórmulas anteriores referidas al ángulo C sin necesidad de reconstruir lo hecho para el ángulo B?

La estrategia es la siguiente: Si en las fórmulas anteriores cambiamos B por C, hemos de cambiar b por c o c por b; Dicho de otra manera: Si cambiamos B por C, donde esté b hay que escribir c y donde esté c hay que escribir b.  Así resultarán las razones trigonométricas del ángulo C

b y c  son los catetos y a, la hipotenusa.    (*)
B y C son los ángulos agudos del triángulo rectángulo.  (**)

Referidos al ángulo B, el lado b es su opuesto y c, su contiguo o adyacente. (***)
Referidos al ángulo C, el lado b es su contiguo o adyacente y c, su opuesto. (****)

Si comparamos las relaciones de la columna de la izquierda de los cuadros 4 y 5 llegamos a las siguientes propiedades que expresamos en forma de igualdad:

Los ángulos B y C, son ángulos complementarios; esto es la suma es igual a un recto: 

Los ángulos de 60 y 30 son complementarios porque

60 + 30 = 90

- El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento
- El coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento
- La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento
- La cotangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento
- La secante de un ángulo es igual a la cosecante de su complemento
- La cosecante de un ángulo es igual a la secante de su complemento

Si comparamos las columnas de la derecha y tenemos en cuenta lo dicho en (*), (**), (***) y (****) (Ir)

Los símbolos anteriores los puedo traducir al lenguaje natural así:

El teorema de Pitágoras expresa una propiedad de los lados de los triángulos rectángulos que se enuncia así:

Hagamos algunas transformaciones para lo cual tomamos las dos primeras expresiones de la derecha del cuadro nº 4 y le aplicamos la propiedad (e); Asi:

Se elevan al cuadrado los dos miembros de las ecuaciones anteriores, resultando:

Por el teorema de Pitágoras, el primer miembro es,   a² y en el segundo miembro se puede sacar factor común, a²,    luego si sustituimos y operamos resultará:

Si a esta igualdad le aplicamos la propiedad (d) y dividimos por  a² , resultará:

Como el cociente de dos expresiones iguales es igual a la unidad, resultará finalmente:

que es la fórmula fundamental de la trigonometría que se enuncia así:
 
 

Esta ecuación permite expresar el seno de un ángulo en función del coseno o viceversa.

¿Qué expresa, geométricamente  la fórmula fundamental de la trigonometría?

Si construimos un triángulo rectángulo cuyos catetos tengan por longitud los valores del seno y coseno de un ángulo, la hipotenusa tendrá por longitud la unidad, así:

Hagamos otras transformaciones para lo cual volvemos a tomar las dos primeras expresiones de la derecha del cuadro 4 y le aplicamos la propiedad (c); Así:

dividiendo miembro a miembro la 1ª por la 2ª resulta:

y simplificando la a en el numerador y denominador del segundo miembro será:

teniendo en cuenta que la tangente es la recíproca de la cotangente podemos decir que:

De lo dicho se desprende que cualquier razón trigonométrica puede expresarse en función del seno ó del coseno y como el seno y el coseno están relacionados por la fórmula fundamental de la trigonometría, podemos concluir que:
 
 

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquiera de las otras cinco

Estas propiedades tienen interés teórico e histórico. Cuando los instrumentos de cálculo eran rudimentarios se precisaba disponer de relaciones diversas para facilitar los cálculos. Hoy, con las modernas máquinas de calcular, se precisa conocer sólo, las relaciones y así utilizar, con eficacia, las máquinas de calcular.
 

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA:

- Razones trigonométricas: Cálculos sencillos
- Resolución de triángulos rectángulos y escalenos
- Resolución de otras figuras reducibles a triángulos
- Sistemas de coordenadas
- Líneas trigonométricas

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