Clasificación
-
Seno
- Coseno
- Tangente
- Cotangente
-
Secante
- Cosecante
Cálculos
simples
-
Dado
el ángulo hallar la razón
-
Dada la razón hallar el ángulo:
email: marodgar@telefonica.net
En este tema vamos a responder a las siguientes preguntas:
¿Qué son las
razones trigonométricas?
¿Cómo se clasifican?
¿Cual es su número?
¿Por qué se
necesitan las razones trigonométricas?
¿Para qué
las utilizaremos?
Es posible que respondamos algunas más.
Empecemos con un juego: Sea el triángulo rectángulo de la figura
cuyos lados los signamos con las letras a, b y c y sus ángulos con las letras A, B y C.
Con el conjunto de los lados a, b y c del triángulo rectángulo propuesto vamos a formar todos los grupos posibles tomándolos de dos en dos y los vamos a escribir en forma de fracción:
a/b ; a/c ; b/c ; b/a ; c/a ; c / b ; (1)
Lo que hemos hecho es escribir ordenadamente las variaciones ordinarias sin repetición de tres elementos tomados de dos en dos: esto es : V3,2; Si quieres recordar estos conceptos haz click aquí: Combinatoria.
Recordemos que a, b y c expresan las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. La longitud es una magnitud. Las seis fracciones (1) expresan el cociente de dos longitudes, por tanto el resultado es un número adimensional, carece de dimensión, es un número abstracto.
El cociente de dos magnitudes se denomina:
razón por cociente o simplemente razón
¿Qué dice el DRAE?
Razón: Mat.Cociente de dos números o, en general, de dos cantidades comparables entre sí.
(1) son las expresiones de todas las razones por cociente que se pueden obtener con los tres lados de un triángulo rectángulo. Además de los lados, el triángulo rectángulo tiene tres ángulos; uno de ellos es recto y los otros son agudos. Como estas razones se dan en el triángulo que en griego es: trigonon, trigonon, de ahí que a las seis razones anteriores se denominen razones trigonométricas que se referirán siempre a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.
Como se ha visto anteriormente, seis son las razones trigonométricas de un ángulo, que se denominan respectivamente: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
NOTA:
Recuerda que estos nombres
ya los vimos en la definición de la enciclopedia CIRLEC
en la que aparece la goniometría como parte de la Trigonometría
que estudia las funciones goniométricas o circulares.
Las razones trigonométricas no son funciones, sino números; las funciones trigonométricas resultan de establecer la relación existente entre el conjunto de los valores de los ángulos y sus respectivos valores de la razón trigonométrica considerada. Esto es sólo un apunte de algo que veremos más adelante.
Las expresiones de (1) las escribimos así:
| Razón | Denominación | Expresión |
| b/a | seno de B | sen B |
| a/b | cosecante de B | cosec B |
| c/a | coseno de B | cos B |
| a/c | secante de B | sec B |
| b/c | tangente de B | tg B |
| c/b | cotangente de B | ctg B |
Las razones trigonométricas anteriores están referidas al ángulo B; el lado b es su opuesto y c, su contiguo o adyacente.
Referidas al ángulo C, el lado b es su contiguo o adyacente y c, su opuesto.
NOTA:
Parece necesario resaltar
que cuando se mencionan los lados del triángulo con las letras a,
b, c, unas veces me refiero al lado y otras a su longitud.
Salvo circunstancias muy
especiales es usual que las razones trigonométricas de un ángulo
se designen por su abreviatura. Los símbolos anteriores los puedo
traducir al lenguaje natural:
Cuadro nº 1': Razones
trigonométricas del ángulo B y su expresión en lenguaje
natural:
NOTA:
Obsérvese que todo
el proceso anterior se ha seguido a partir de un juego de ordenación
y que podíamos haber bautizado, cada razón, con un nombre
elegido por nosotros. Por causas obvias, se ha denominado con el nombre
tradicional.
sen B
= b/a (1)
cos B
= c/a (2)
tg B
= b/c (3)
sec B
= a/c (4)
cosec B = a/b
(5)
ctg B
= c/b (6)
La simple observación de las expresiones anteriores y comparamos la (1) con la (5) nos lleva a las siguientes relaciones:
sen B = b/a cosec B = a/b
Los segundos miembros son expresiones recíprocas por tanto los primeros miembros también lo serán; esto es:
sen B = 1/cosec B o bien cosec B = 1/sen B
Análogamente, si se compara la (2) con la (4)
cos B = c/a sec B = a/c
Los segundos miembros son expresiones recíprocas por tanto los primeros miembros también lo serán; esto es:
cos B = 1/sec B o bien sec B = 1/cos B
De la misma forma, si se compara la (3) con la (6)
tg B = b/c ctg B = c/b
Los segundos miembros son expresiones recíprocas por tanto los primeros miembros también lo serán; esto es:
tg B = 1/ctg B
Las relaciones se resumen en el cuadro siguiente:
| Razón | Expresión recíproca |
| sen B = 1/cosec B | cosec B = 1/sen B |
| cos B = 1/sec B | sec B = 1/cos B |
| tg B = 1/cotg B | cotg B = 1/tg B |
Cálculos simples con el uso de la calculadora Casio fx-82LB:
Directamente pueden obtenerse el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo. Este problema es de solución única.
Ejemplo de ángulo dado en forma simple: 42º
Como operamos con grados sexagesimales hay que adoptar en la calculadora, el modo DEG. Hecho esto se introduce en la calculadora el valor del ángulo y pulsamos, sucesivamente, las teclas sin, cos y tan y obtenemos los valores correspondientes así:
sen 42 = 0,6691306
cos 42 = 0,7431448
tg 42 = 0, 900404
Como
cosec 42 = 1/sen 42
sec 42
= 1/cos 42
ctg 42
= 1/tg 42
las secuencias en la calculadora serían:
Para obtener la cosec 42:
42 sin shift (inver) 1/x, aparece en el visor 1,4944765 = cosec 42
Para obtener la sec 42:
42 cos shift (inver) 1/x, aparece en el visor 1,3456327 = sec 42
Para obtener la ctg
42
42 tan
shift (inver) 1/x, aparece en el visor 1,1106125 = ctg 42
Ejemplo de ángulo
dado en forma compleja:
29º 37’ 49”
La estrategia a emplear es: transformar el ángulo dado en forma compleja 29º 37’ 49”, en forma simple; esto es, lo que excede de los 29º escribirlo como decimal y se procede como en el caso anterior.
La secuencia en la calculadora para transformar a forma simple el ángulo dado en forma compleja, sería:
29 º’’’ 37 º’’’ 49 º’’’, aparece en el visor 29,630278
A este valor se le aplican las secuencias para obtener las razones trigonométricas deseadas. Combinando ambas secuencias resultaría:
29 º’’’ 37 º’’’ 49 º’’’ sin aparece en el visor 0,4944012 = sen 29º37’49’’
Análogamente para las demás razones trigonométricas.
29 º’’’ 37 º’’’ 49 º’’’ cos; aparece en el visor 0,8692337 = cos 29º37’49’’
29 º’’’ 37 º’’’ 49 º’’’ tan; aparece en el visor 0,5687782 = tg 29º37’49’’
Las razones: cosecante, secante, cotangente se determinan como en el caso anterior.
29 º’’’ 37 º’’’
49 º’’’ sin; aparece en el visor 0,4944012 shift (inver) 1/x = 2,0226488
=
cosec 29º37’49’’
29 º’’’ 37?º’’’
49º’’’ cos; aparece en el visor 0,8692337 shift (inver) 1/x = 1,1504386
=
sec 29º37’49’’
29? º’’’ 37 º’’’?49º’’’
tan aparece en el visor 0,5687782 shift (inver) 1/x = 1,7581546 =
ctg 29º37’49’’
2.- Hallar el ángulo que corresponde a una razón trigonométrica dada.
Directamente pueden obtenerse los ángulos, dados sus respectivos: seno, coseno y tangente. Este problema tiene, además de la solución de la calculadora, otras soluciones. Por ahora nos conformamos con la de la calculadora. Ejemplos:
sen B = 0,2358791
cos B = 0, 5766433
tg B = 3,2255779
Las secuencias serían:
Para el seno: se teclea su valor 0,2358791 shift(inver) sin, aparece en el visor 13,643448 shift (inver) º’’’ 13º38’36’’
Para el coseno: se teclea su valor 0,5766433 shift(inver) cos, aparece en el visor 54,785205 shift (inver) º’’’ 54º47’6,7’’
Para la tangente: se teclea su valor 3,2255779 shift(inver) tan, aparece en el visor 72,775416 shift (inver) º’’’ 72º46’31’’
Como sabemos: (Ir)
sen B = 1/cosec B
cos B = 1/sec B
tg B =
1/ctg B
Con las función de la calculadora: 1/x, (función recíproca), podemos transformar la cosecante, la secante, y la tangente de un ángulo en el seno, coseno y tangente de ese mismo ángulo y se procede como en el caso anterior: Ejemplos:
cosec B = 3,2358791
sec B = 1, 5766433
ctg B = 0,2255779
Las secuencias serían:
Para la cosecante: se teclea
su valor 3,2358791 shift(inver) 1/x, aparece en el visor 0,309035
shift (inver) sin shift
(inver) º’’’ 18º0’3,91’’
Para la secante: se teclea su valor 1,5766433 shift(inver) 1/x, aparece en el visor 0,6342588 shift (inver) cos shift (inver) º’’’ 50º38’5,8’’
Para la cotangente: se teclea su valor 0,2255779 shift(inver) 1/x, aparece en el visor 4,4330584 shift (inver) tan shift (inver) º’’’ 77º17’17’’
NOTA:
Se han ejemplificado los
casos posibles en un ejemplo de cada uno:
- Dado un ángulo hallar los valores de sus razones trigonométricas.
- Dada una razón trigonométrica hallar el ángulo agudo que le corresponde.
El lector puede familiarizarse con estos cálculos, repitiendo las secuencias anteriores para los ángulos que a sí mismo se proponga.
Vamos ahora a investigar algunas propiedades trigonométricas contenidas en las expresiones anteriores, para lo cual nos quedamos con las fórmulas, prescindiendo del tenor literal. Para ello haremos algunas transformaciones. Recuerda que, para transformar una expresión matemática en otra equivalente, hemos de aplicar alguna propiedad; de ahí la necesidad de conocer propiedades matemáticas
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