Aplicación a la construcción de ángulos conocida una razón trigonométrica:
-
El seno
-
El coseno
-
La tangente
-
La cotangente
-
La secante
-
La cosecante
- Aplicaciones geométricas a la resolución de los triángulos rectángulos:
Resolución
conocidos:
- La
hipotenusa y un cateto
- La
hipotenusa y un ángulo agudo
- Un
cateto y el ángulo opuesto
-
Un cateto y el ángulo contiguo
-
Los dos catetos
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CONSTRUCIำN DE มNGULOS
RESOLUCIำN DE TRIมNGULOS RECTมNGULOS
Como se ha dicho, la trigonometría es un instrumento de cálculo muy fecundo. Se aplica en todo problema relacionado con ángulos o con fenómenos periódicos.
En este tema responderemos a las siguientes preguntas:
¿Qué aplicaciones inmediatas tiene la Trigonometría?
- La Construcción
de ángulos conocida una razón trigonométrica
- Resolver triángulos
rectángulos
¿Cómo lo haremos?
La estrategia a emplear consiste en utilizar las razones trigonométricas y otras propiedades algebraicas y geométricas
¿Por qué se expone?
Es un instrumento útil para interpretar los valores y signos de las razones trigonométricas.
¿Para qué las usaremos?
Como recurso en el estudio de la variación de las razones trigonométricas e introducción posterior en el concepto de función trigonométrica.
Construcción
de ángulos conocida una razón trigonométrica:
Cuadro nº 1:
Propiedades, relaciones
y fórmulas de aplicación
| Razón | Expresión en lenguaje natural | Símbolo |
| b/a | Longitud del cateto opuesto dividida por la longitud de la hipotenusa | sen B |
| a/b | Longitud de la hipotenusa dividida por la longitud del cateto opuesto | cosec B |
| c/a | Longitud del cateto contiguo dividida por la longitud de la hipotenusa | cos B |
| a/c | Longitud de la hipotenusa dividida por la longitud del cateto contiguo | sec B |
| b/c | Longitud del cateto opuesto dividida por la longitud del cateto contiguo | tg B |
| c/b | Longitud del cateto contiguo dividida por la longitud del cateto opuesto | ctg B |
La definición de las razones trigonométricas nos servirá para la construcción del ángulo conocida una razón trigonométrica:
Ejemplo
nº 1:
Construir un ángulo
conocido el valor de su seno
sen B = 0,575, construir B
La definición de seno de un ángulo nos indica la estrategia a seguir.
¿Cómo se define el seno de un ángulo?
Longitud del cateto opuesto dividida por la longitud de la hipotenusa
Se trata de dibujar un triángulo rectángulo de tal manera que, la relación existente entre la longitud de un cateto y su hipotenusa, sea la dada, para lo cual el procedimiento será como sigue:
1º La fracción decimal dada, se transforma en fracción ordinaria irreducible, así:
0,575 = 575/1000 = 23/40
El problema queda resuelto al construir un triángulo rectángulo cuyo cateto vertical sea 23 mm y cuya hipotenusa mida 40 mm
OBSERVACIÓN: El seno de un ángulo es un número abstracto; la unidad de medida es arbitraria; en este caso se han elegido mm. Si las dimensiones son pequeñas se pueden adoptar otras fracciones equivalentes que cumplan la relación dada.
2º Se traza un ángulo recto
3º sobre el lado vertical se determina un segmento cuya longitud sea 23 mm
4º Con el compás se toma la abertura correspondiente a un segmento cuya longitud sea 40 mm
5º Haciendo centro sobre el extremo superior del lado vertical se traza un arco que corte al lado horizontal
6º Uniendo ambos puntos se cierra el triángulo rectángulo
Conclusión:
El ángulo B, opuesto a 23 mm será el ángulo pedido
Ejemplo
nº 2:
Construir un ángulo
conocido el valor de su coseno
cos B = 0,375, construir B
¿Cómo se define el coseno de un ángulo?
Longitud del cateto contiguo dividido por la longitud de la hipotenusa
Teniendo en cuenta lo dicho para el caso del seno, el procedimiento será como sigue:
1º La fracción decimal dada, se transforma en fracción ordinaria, así:
0,375 = 375/1000 = 15/40
Se trata de, a partir de la definición de coseno de un ángulo, construir un triángulo rectángulo cuyo cateto horizontal mida 15 mm y cuya hipotenusa mida 40 mm
2º Se traza un ángulo recto
3º sobre el lado horizontal se determina un segmento de 15 mm de longitud
4º Con el compás se toma la abertura correspondiente a un segmento de 40 mm de longitud
5º Haciendo centro sobre el extremo del segmento horizontal se traza un arco que corte al lado vertical
6º Uniendo ambos puntos se cierra el triángulo rectángulo.
Conclusión:
El ángulo B contiguo a 15 será el ángulo pedido
Ejemplo
nº 3:
Construir un ángulo
conocido el valor de su tangente
tg B = 0,75, construir B
¿Cómo se define la tangente de un ángulo?
Longitud del cateto opuesto dividida por la longitud del cateto contiguo
El procedimiento será como sigue:
1º La fracción decimal dada, se transforma en fracción ordinaria, así:
0,75 = 75/100 = 3/4 = 30/40
Se trata de, a partir de la definición de la tangente de un ángulo, construir un triángulo rectángulo cuyo cateto vertical mida 30 mm el horizontal mida 40 mm
2º Se traza un ángulo recto
3º sobre el lado vertical se determina un segmento cuya longitud es 30 mm y otro sobre el horizontal de 40 mm
6º Uniendo ambos puntos se cierra el triángulo rectángulo.
Conclusión: El ángulo B será el ángulo pedido
Si los datos son la cosecante, la secante y la tangente, la construcción se reduce a las anteriores utilizando las siguientes propiedades:
sen B = 1/cosec B
cos B = 1/sec B
tg B = 1/ctg B
Triángulo rectángulo
Cuadro nº 2:
Propiedades, relaciones
y fórmulas de aplicación
| Propiedad o relación | Fórmula |
| Complementariedad de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo | B + C = 90 (1) |
| Fórmula fundamental de la trigonometría | sen2 B + cos2 B = 1 (2) |
| Teorema de Pitágoras | b2 + c2= a2 (3) |
| Las fórmulas derivadas de las razones trigonométricas | b= a sen B
(4)
c = a cos B (5) b = c tg B (6) c = b ctg B (7) a = b cosec B (8) a = c sec B (9) |
1.- Aplicaciones geométricas a un triángulo rectángulo:
Cuadro nº 3:
Resolver el triángulo
rectángulo dados:
| Caso | Descripción |
| 1º | La hipotenusa y un cateto |
| 2º | La hipotenusa y un ángulo agudo |
| 3º | Un cateto y el ángulo opuesto |
| 4º | Un cateto y el ángulo contiguo |
| 5º | Los dos catetos |
Que podemos expresarlo así:
| Caso | a | b | c | A= 90 | B | c=90-B |
| 1บ | (x) | (?) | (?) | (x) | (?) | (?) |
| 2บ | (x) | (?) | (?) | (x) | (x) | (?) |
| 3º | (?) | (x) | (?) | (x) | (x) | (?) |
| 4º | (?) | (x) | (?) | (x) | (?) | (x) |
| 5º | (?) | (x) | (x) | (x) | (?) | (?) |
NOTA: Los datos lo signamos con una (x); lo que pretendemos averiguar con una (?). Un dato es el ángulo recto. Cualquiera que sea el problema, un dato imprescindible tiene que ser un lado. El cuadro anterior resume las posibles variantes
Un triángulo rectángulo se caracteriza por sus tres lados y sus tres ángulos uno de los cuales, el recto, es un valor conocido.
Todos los ejercicios posibles
sobre el triángulo rectángulo se sintetizan en completar
los valores desconocidos de sus lados y sus ángulos a partir de
ciertos datos que, como se ha dicho, uno de ellos tiene que ser un lado.
Otro dato es: A = 90
Resolver triángulos rectángulos es seguir el proceso siguiente:
| 1 | Se dibuja un triángulo rectángulo, se signa con las letras usuales |
| 2 | Los datos se escriben sobre el propio triángulo |
| 3 | ¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e incognitas? |
| 4 | Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones |
| 5 | Se resuelve la ecuación o el sistema resultante |
| 6 | Se discute la solución |
| 7 | Se comprueban los resultados |
NOTA: Obsérvese que todos los ejemplos se resuelven aplicando el mismo proceso; esto es: aplicando a cada caso, cada una de las secuencias del esquema anterior.
Ejemplos de aplicación:
AVISO: En los ejemplos que siguen, la magnitud de los datos se expresan en la tabla y los resultados, no en los cálculos; los ángulos se expresan en unidades sexagesimales.
Observación: Las relaciones que se indican, en cada caso, verificarlas en el propio triángulo.
1º.- Resolver un triángulo rectángulo conocidos la hipotenusa y un cateto.
| Caso | a | b | c | A= 90 | B | C=90-B |
| 1º | 5 cm | 2 cm | (?) | (x) | (?) | (?) |
1.- Dibujo del triángulo rectángulo signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
3.- ¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e incognitas?
- Al ángulo B con a y b se relacionan por
b = a sen B
- Al ángulo C con a y b se relacionan por
b = a cos C
- Los lados a, b y c, se relacionan por el Teorema de Pitágoras:
b2 + c2 = a2
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
- Al ángulo B con a y b se relacionan por:
b = a sen B; sustituyendo a=5 y b = 2 , resultará: 2 = 5 sen B; de donde sen B = 2/5 = 0,4
Resolver esta ecuación consiste en calcular el ángulo conocido su seno (Ir).
Secuencias: se teclea su valor 0,4 Þ shift(inver) sin, aparece en el visor 23,578178 Þ shift (inver) º 23º3441 = B
- Al ángulo C con a y b se relacionan por
b = a cos C; sustituyendo
a=5 y b = 2 , resultará: 2 = 5 cos C ; de donde cos
C = 2/5 = 0,4
Resolver esta ecuación
consiste en calcular el ángulo conocido su coseno (Ir).
Secuencias:
se teclea su valor 0,4 Þ
shift(inver) cos, aparece en el visor 66,421822
shift (inver) º
66º2518 = C
Los lados a, b y c, se relacionan por el Teorema de Pitágoras:
b2 + c2 = a2;
sustituyendo los valores
22 + c2
= 52; luego: 4 + c2 = 25
c2 = 25 - 4;
c2 = 21; c = ±Ö21
5.- Se resuelve la ecuación o el sistema resultante.
Se ha resuelto en 4
6.- Se discute la solución.
c = ±Ö21
Se sabe que una raíz cuadrada tiene dos soluciones (Ir) la longitud de un triángulo es una magnitud positiva por tanto la solución será el valor positivo de la raíz y como los datos vienen expresados en centímetros, la solución será: c = Ö21 cm
7.- Comprobación:
Como B + C = 90;
23º3441 +
66º2518 = 89º 5959
Hay un error de 1 por los
decimales.
Se puede operar directamente
con los valores decimales de los ángulos:
23,578178 + 66,421822 =
90º
NOTA: Este proceso no es único. El lector puede ensayar otros procesos tales como:
- Calcular c por el
teorema de Pitágoras
- Calcular B y C con cualquiera
de las razones trigonométricas de aplicación.
2º.- Resolver un triángulo rectángulo conocidos la hipotenusa y un ángulo.
| Caso | a | b | c | A= 90 | B | c=90-B |
| 2º | 8 m | (?) | (?) | (x) | 47º1532 | (?) |
1.- Dibujo del triángulo rectángulo signado.
2.- Los datos escritos sobre
el propio triángulo.
3.- ¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e inc๓gnitas?
- Al ángulo B con a y b se relacionan por:
b = a sen B
- Al ángulo B con a y c se relacionan por:
c = a cos B
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90; de donde
C = 90 - C y sustituyendo:
C = 90 - 47º1532
Seguir la siguiente secuencia en la calculadora:
- mode DEG Þ Escribir 8 90 - 47º15º32 º= (aparece en el visor 42,741111 que es la expresión decimal del ángulo) Þ shift(inver) º aparece en el visor la solución sexagesimal 42º4428 = C.
- El ángulo B con a, b y c se relacionan por
b = a sen B y b = a cos B
sustituyendo a=8 y B = 47º1532;
resultará:
b = 8 sen 47º1532
y c = 8 cos 47º1532
Secuencias para el cálculo de b:
Se teclea 47º15º32 º Þ sin (aparece en el visor 0,7344278) x 8 = 5,8754225 = b.
Se toma como valor aproximado de b = 5,87 m.
Secuencias para el cálculo de c:
Se teclea 47º15º32 cos (aparece en el visor 0,67843848 x 8 = 5,4294945 = c.
Se toma como valor aproximado de c = 5,42 m.
5.- Se resuelve la ecuación o el sistema resultante.
Se ha resuelto en 4
6.- Se discute la solución.
No ha lugar; los resultados no presentan ninguna ambigüedad.
7.- Comprobación:
Como los lados b y
c
calculados se relacionan con el Teorema de Pitágoras b2
+ c2 = a2;
sustituyendo los valores
5,87542252 + 5,42949452 = 64 = 82
NOTA: Este
proceso no es único. El lector puede ensayar otros procesos.
3º.- Resolver un triángulo rectángulo conocidos un cateto y el ángulo opuesto.
| Caso | a | b | c | A= 90 | B | c=90-B |
| 3º | (?) | 10 m | (?) | (x) | 52º5737 | (?) |
1.- Dibujo del triángulo rectángulo signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
3.- ¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e incognitas?
- Al ángulo B con a y b se relacionan por:
b = a sen B
- Al ángulo B con b y c se relacionan por:
b = c tg B
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90; de donde C = 90 - C y sustituyendo: C = 90 - 52º5737
Seguir la siguiente secuencia en la calculadora:
- mode DEG Þ Escribir 90 - 52º57º37 º= (aparece en el visor 37,039722 que es la expresión decimal del ángulo) Þ shift(inver)º aparece en el visor la solución sexagesimal 37º223 = C.
- El ángulo B con a, b y c se relacionan por:
b = a sen B y c = b tg C sustituyendo
b=10 y B = 52º5737 , resultará:
10 = a sen 52º5737 y
despejando resulta que a = 10/sen 52º5737
c = 10 tg 37º223
Secuencias para el cálculo de a:
Se teclea 52º57º37 º sin (aparece en el visor 0,798218) shift(inver) Þ 1/x (aparece en el visor 1,2527905) x 10=12,527905; Se toma como valor aproximado de a = 12,52 m.
Secuencias para el cálculo de c : se teclea 37º2º23º tan (aparece en el visor 0,75467415) x 10 =7,5467415 =c.
Se toma como valor aproximado de c = 7,54 m.
5.- Se resuelve la ecuación o el sistema resultante.
Se ha resuelto en 4
6.- Se discute la solución.
No ha lugar; los resultados no presentan ninguna ambigüedad.
7.- Comprobación:
Como los lados a y c calculados
se relacionan con el Teorema de Pitágoras b2 + c2
= a2;
sustituyendo los valores:
102 + 7,54674152 = 12,5281012
El valor de a=12,527905 m
Que difiere en 2x10-4 por los decimales.
NOTA: Este
proceso no es único. El lector puede ensayar otros procesos.
4º.- Resolver un triángulo rectángulo conocidos un cateto y el ángulo contiguo.
| Caso | a | b | c | A= 90 | B=90-C | C |
| 4º | (?) | 12 m | (?) | (x) | (?) | 48º3523 |
1.- Dibujo del triángulo rectángulo signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
b = 12 m
C = 48º3523
3.- ¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e incognitas?
- El ángulo C con a y b se relacionan por
b = a cos C
- El ángulo C con b y c se relacionan por
c = b tg C
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90; de donde B = 90 - C y sustituyendo
B = 90 - 48º3523 (Ir a operaciones con ángulos); Seguir la siguiente secuencia en la calculadora:
- mode DEG Þ Escribir 90 - 48º35º23 º = (aparece en el visor 48,589722 que es la expresión decimal del ángulo) Þ shift(inver) º aparece en el visor la solución sexagesimal 48º3523 = B.
- Al ángulo C con a, b y c se relacionan por
b = a cos C y c = b tg C sustituyendo
b=12 y C = 48º3523 , resultará:
12 = a cos 48º3523
despejando resulta que a = 12/cos 48º3523
c = 12 tg 48º3523
Secuencias para el cálculo de a; se teclea 48º35º23 º cos (aparece en el visor 0,6614464) Þ shift(inver) 1/x (aparece en el visor 1,5118383) x 12=18,142059; Se toma como valor aproximado de
a = 18,14 m.
Secuencias para el cálculo de c; se teclea 48º35º23 º tan (aparece en el visor 1,1338673) x 12=13,606407 = c.
Se toma como valor aproximado de c = 13,60 m.
5.- Se resuelve la ecuación o el sistema resultante.
Se ha resuelto en 4
6.- Se discute la solución.
No ha lugar; los resultados no presentan ninguna ambigüedad.
7.- Comprobación:
Como los lados a y c calculados se relacionan con el otro cateto b, por el Teorema de Pitágoras:
b2 + c2 = a2 ; sustituyendo los valores:
102 + 7,54674152 = 12,5281012
El valor de a=12,527905, difiere en 2x10-4, por los decimales.
NOTA: Este
proceso no es único. El lector puede ensayar otros procesos.
5º.- Resolver un triángulo rectángulo conocidos los dos catetos.
| Caso | a | b | c | A= 90 | B | c=90-B |
| 5º | (?) | 20 m | 15 m | (x) | (?) | (?) |
1.- Dibujo del triแngulo rectแngulo signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
b= 20 m
c = 15 m
3.- ¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e incognitas?
- a, b y c se relacionan por el teorema de Pitágoras
b2 + c2 = a2
- El ángulo B con b y c se relacionan por
b = c tg B
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
- Los lados a, b y
c,
se relacionan por el Teorema de Pitágoras:
b2 + c2
= a2 ; sustituyendo los valores
202 + 152
= a2; luego:
400 + 225 = 625 = a2;
a = ±Ö625
= ±25
- El ángulo B con b y c se relaciona por
b = c tg B
20 = 15 tg B ; Despejando tg B = 20/15
Resolver esta ecuación consiste en calcular el ángulo conocida su tangente (Ir).
Secuencias: se teclea 20:15 = (aparece en el visor 1,3333333) Þ shift (inver) tan (aparece en el visor 53,130102 que es la expresión decimal del ángulo) Þ shift(inver) º(aparece en el visor la solución sexagesimal) 53º748 = B.
- Los ángulos B y C por la propiedad de la complementariedad:
B + C = 90; de donde C = 90 - B y sustituyendo C = 90 - 53º748 (Ir a operaciones con ángulos); Seguir la siguiente secuencia en la calculadora:
- mode DEG Þ Escribir 90 - 53º7º48º = (aparece en el visor 36,869898 que es la expresión decimal del ángulo) Þ shift(inver) º aparece en el visor la solución sexagesimal 36º5111 = C
5.- Se resuelve la ecuación o el sistema resultante.
Se ha resuelto en 4
6.- Se discute la solución.
a = ±25 son las dos soluciones de una raíz cuadrada: a = +25; a = -25 (Ir). La longitud de un triángulo es una magnitud positiva por tanto la solución será el valor positivo de la raíz.
a = 25 m
7.- Comprobación:
Como la hipotenusa a y los ángulos B y C calculados se relacionan con los catetos b y c por las expresiones b = a sen B y c = a cos B, tendremos después de sustituir:
20 = 25 sen 53º748
= 19,99997;
15 = 25 cos 53º748
= 15,00003
Los valores difieren en 3x10-5, por los decimales despreciados.
NOTA: Este
proceso no es único. El lector puede ensayar otros procesos.
2.- Aplicaciones geométricas reducibles a un triángulo rectángulo:
email: marodgar@telefonica.net