Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
1. Introducción
     La Matemática es una ciencia que aporta un lenguaje preciso, potente y sin ambigüedades que, en mayor o menor medida, utilizan el resto de las ciencias para la formulación, interpretación, resolución y comunicación de diferentes problemas, fenómenos y situaciones. El éxito para describir, predecir y permitir actuar sobre la realidad correspondiente han convertido a las matemáticas en un instrumento de gran potencia y utilidad para representar y extraer información significativa y relevante de los fenómenos estudiados por las Ciencias Sociales y Economía. El Álgebra, el Análisis, y, especialmente, la Estadística son ramas que han demostrado su eficacia en el tratamiento de problemas propios de estas áreas.
     Como ya se hacía notar en la Enseñanza Secundaria Obligatoria, el pensamiento matemático no consiste solamente en razonamientos deductivos y en demostraciones formales. La organización lógica y la presentación coherente de los conceptos matemáticos son sólo el punto de llegada de un largo proceso de creación, en el que la intuición, la inducción, el ensayo-error y el trabajo duro y paciente han jugado papeles fundamentales. Es, por ello, importante que a la hora de diseñar y concretar el currículo matemático se reflejen todos estos procesos.
     Para que el alumnado alcance unos conocimientos realmente funcionales y conseguir que adquiera confianza y seguridad en su uso, no basta con que domine los contenidos conceptuales. Es también imprescindible trabajar la «forma de hacer Matemáticas», es decir, todos aquellos procedimientos, entendidos en sentido amplio, y actitudes que caracterizan la actividad matemática. La educación matemática en la enseñanza secundaria debe presentar experiencias que animen y capaciten a las alumnas y los alumnos a valorar las matemáticas, adquirir confianza en su propia capacidad, ser capaces de resolver problemas, comunicarse y razonar matemáticamente. Por ello adquiere un papel preponderante en el currículo el trabajo con procedimientos tales como:
     • uso de diferentes lenguajes y su interrelación,
     • algoritmos y técnicas particulares con un propósito concreto,
     • estrategias generales necesarias en la resolución de problemas como estudio de casos particulares, búsqueda de regularidades, elaboración y comprobación o refutación de hipótesis, etc.,
     • toma de decisiones razonadas sobre los pasos y estrategias a emplear,
     También hay que fomentar actitudes como corrección de los razonamientos, crítica de los argumentos, perseverancia en la búsqueda de las soluciones, etc.
     Todos estos procesos contribuyen a crear estructuras mentales y actitudes que trascienden a las propias Matemáticas, destacando así su gran valor formativo. En este sentido la resolución de problemas abiertos, abarcando actividades como la indagación, elección de estrategias adecuadas, particularización, generalización, etc., cobra toda su importancia.
     Se irán ampliando, interiorizando e integrando, los nuevos aprendizajes para formar una más amplia red de esquemas mentales de resolución, en la que se relacionen los nuevos contenidos y procedimientos permitiendo a las alumnas y los alumnos enfrentarse a nuevos problemas. Además, las satisfacciones que la matemática proporciona, como el apasionamiento del descubrimiento, o la alegría del éxito son más intensas en el trabajo creativo que en la mera repetición de los razonamientos de un modelo deductivo.
     Así como hemos puesto de manifiesto las relaciones entre las Matemáticas y otras Ciencias, es también importante resaltar las relaciones entre diferentes temas matemáticos. El alumnado que sea capaz de realizar diferentes representaciones de la misma situación o del mismo concepto matemático, viéndolos desde diferentes enfoques, tendrá al mismo tiempo mayor riqueza de herramientas para resolver problemas y una visión más coherente de la materia.
     Si el Bachillerato se plantea como una etapa educativa de carácter único, y con doble finalidad -una formativa, terminal y básica, y otra propedéutica (preparatoria y orientadora) para los estudios posteriores, bien universitarios o profesionales-, el currículo de Matemáticas deberán diseñarse y desarrollarse para cumplir también esta misión. De esta forma, se apoyará en los conocimientos matemáticos ya adquiridos por las alumnas y los alumnos en la Enseñanza Secundaria Obligatoria, y deberá satisfacer sus necesidades educativas futuras, tanto para la enseñanza superior, en particular, para la Universidad, como para la continuidad en ciclos formativos profesionales, junto con la contribución a su formación cultural. Con este propósito podemos establecer cinco fines generales para todas las alumnas y los alumnos:
     I. La Expresión Matemática: Se pretende que las alumnas y los alumnos aprendan a comunicarse mediante el lenguaje matemático: de forma oral, fomentando la precisión del lenguaje y el uso de términos matemáticos en las puestas en común, en la justificación de una idea, pensamiento o razonamiento, para explicar el proceso de resolución de un problema, etc.; o haciendo uso eficaz de las distintas posibilidades que ofrece el lenguaje matemático escrito (algebraico, geométrico, gráfico, etc.) para transcribir ideas, resolver problemas, construir esquemas, figuras o símbolos que simplifiquen escrituras, etc. Esta última idea debe ser apoyada desde un punto de vista actitudinal, en que se valore la necesidad de unos apuntes ordenados, limpios, operativos y con una mayor cantidad de contenidos, no figurando sólo ideas sueltas, inconexas, de difícil estudio, no hay que olvidar que, esos apuntes y anotaciones, van a ser luego el instrumento de apoyo del estudio de las alumnas y los alumnos.
     II. El Razonamiento Matemático: Se pretende que las alumnas y los alumnos aprendan a razonar matemáticamente y desarrollen en el alumnado las capacidades de: utilizar el razonamiento lógico-deductivo, formular ejemplos y contraejemplos, conjeturar, seguir un razonamiento, etc. Aunque los contenidos no contienen muchas demostraciones, es importante que las alumnas y los alumnos puedan seguir algunas de ellas, viendo su necesidad e importancia y puedan reproducir el proceso de demostración.
     III. Las Conexiones Matemáticas: Se trata de que las alumnas y los alumnos se sientan capaces de aplicar las Matemáticas a situaciones prácticas del entorno o cotidianas. Se pueden contemplar, fundamentalmente, tres líneas de trabajo: aplicaciones al entorno próximo, a su vida cotidiana, a otras áreas o materias y a las propias Matemáticas. Hasta ahora ha sido esta última línea la más trabajada, los contenidos matemáticos se han basado en su necesidad para otros contenidos que, a su vez, aparecían para introducir otros y, así, sucesivamente. Sin embargo, si se pretende que el alumnado realice un aprendizaje significativo y funcional deben ser potenciadas las dos primeras líneas para dotar a los conocimientos matemáticos siempre que sea posible de un significado en un contexto cercano a las alumnas y los alumnos y una aplicabilidad en ámbitos diferentes de los matemáticos.
     IV. Aspectos Actitudinales: Se trata de que las alumnas y los alumnos se sientan seguros de su propia capacidad para hacer Matemáticas, y valoren las Matemáticas como herramienta aplicable en diferentes situaciones. Conforme al planteamiento de los objetivos generales, referidos a aspectos actitudinales, básicamente tres son las líneas de actuación fundamentales, que las alumnas y los alumnos: 1) valoren el trabajo de equipo como elemento enriquecedor del proceso de aprendizaje; 2) valoren la importancia de las Matemáticas como elemento de trabajo en diversos contextos, y como formativo para la mejora de sus estructuras de pensamiento y 3) se crean capaces de «hacer Matemáticas», es decir, que confíen en sus capacidades para progresar en la materia y sus aplicaciones.
     V. Resolución de Problemas: Se pretende que las alumnos y los alumnos sean capaces de resolver diversos problemas aplicando diversas estrategias de resolución, y utilizando diversas herramientas como el ordenador o la calculadora. Se apoya en las aportaciones ya hechas para la etapa anterior, que siguen siendo válidas para este ciclo de enseñanza postobligatoria (estrategias de pensamiento, de resolución, técnicas heurísticas, etc.). En principio se plantea como proyección sobre toda la materia, es decir, siempre que se pueda las situaciones de aprendizaje deberán partir de la resolución de una situación problema.
     La posibilidad de utilizar la resolución de problemas va unida al uso de las calculadoras y ordenadores. Básicamente se trata de utilizar los nuevos elementos que la moderna tecnología brinda para ayudar al proceso de enseñanza-aprendizaje. El uso de la calculadora ya está planteado desde la anterior etapa obligatoria, es por tanto obligada la continuación de su uso. En primer lugar como sustitutiva de todas las tablas (logarítmicas y trigonométricas), para el cálculo de los parámetros estadísticos, para el trazado y estudio de curvas y funciones, etc., eliminando el tiempo de cálculos tediosos y permitiendo su estudio y análisis. En cuanto al ordenador su potencialidad es, aún, mayor. Los nuevos «software» permiten una simplificación de cálculos (con grandes números o cantidades de datos), con la simulación (números aleatorios...); el estudio completo y detallado de funciones, el trazado de gráficos, curvas y figuras, su desplazamiento, zoom, etc., el cálculo de derivadas e integrales de todo tipo, la utilización de las tablas de las distribuciones, etc. Es, por tanto, necesario enfocar ya determinados temas hacia su tratamiento con el ordenador, de forma que nos podamos centrar más en aquellos aspectos de las Matemáticas relacionados con la expresión matemática, el lenguaje, el razonamiento, la interpretación, las aplicaciones, la resolución de problemas, etc., que con aquellos de procesos de cálculo, operatividad, repetición, etc.
     Estos planteamientos que puedieran parecer utópicos, no lo son tanto ya que el avance en estos campos se adivina rápido y generalizado (mejores equipos, programas, más baratos y asequibles). De esta forma se han de prever estos cambios y disponer su uso para todas las alumnas y los alumnos o, de lo contrario, se estarán poniendo las bases para una enseñanza discriminatoria, en la que quien primero utilice estas nuevas tecnologías logre unos niveles superiores al resto.
     Para el desarrollo de la materia es fundamental el tratamiento que se debe dar a los bloques de contenido. La lectura de los contenidos se ha de hacer viendo en una dirección los núcleos de contenido matemático a modo clásico, y, en perpendicular, contenidos de carácter transversal que imbricados en los anteriores facilitan la consecución de las capacidades matemáticas que figuran en los Objetivos Generales, y que se pretende que desarrollen y adquieran, a lo largo del Bachillerato, todas las alumnas y los alumnos.
     Esta lectura de los bloques de contenidos tiene una doble importancia, ya que puede servir para:
     • Marcar las pautas del desarrollo de los contenidos.
     • Marcar las líneas de evaluación.
     Marcar las pautas de desarrollo de un contenido quiere decir que su tratamiento deberá adecuarse a la consecución de las capacidades señaladas en los Objetivos Generales. La metodología didáctica del Bachillerato ha de favorecer la capacidad del alumnado para aprender por sí mismos, para trabajar en equipo y para aplicar métodos apropiados de investigación; esto significa que, aún teniendo importancia los contenidos matemáticos clásicos, es prioritario el trabajar la adquisición de estructuras de pensamiento correctas y estables que puedan, posteriormente, ser utilizadas con otros contenidos o en otras situaciones, de aprendizaje, de aplicación, etc. Cuando estas estructuras están adquiridas la asimilación de nuevos contenidos, de mayor dificultad o profundidad, es mucho más rápida, efectiva y duradera.
     Elaborar unidades didácticas puede ser la manera más práctica de desarrollar los bloques de contenido, en ellas, deberá haber contenidos de tres tipos: Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales, de manera semejante a la planteada en el Diseño Curricular Base de la enseñanza obligatoria, con la diferencia de que los objetivos, en este caso, tendrían un mayor peso conceptual que en aquél.
     Marcar las líneas de evaluación significar concretar lo que queremos evaluar, es decir, concretar aquellas capacidades o aspectos de ellas marcadas en los Objetivos Generales del Área, de esta etapa postobligatoria, para su evaluación.
     Como en cualquier proceso educativo dos son los tipos de evaluación que se deben realizar:
     • Evaluación de las alumnas y los alumnos y
     • Evaluación del proceso enseñanza-aprendizaje y los elementos que lo integran (currículo, profesorado, resultados, etc.).
     Ambos son igualmente importantes aunque, lógicamente, tiene más transcendencia el primero ya que hacia ellas y ellos va dirigido el proyecto y el proceso educativo.
     Las pruebas a realizar para la evaluación deben ser variadas, ya que variadas son las actividades que deben realizarse. Esto significa que el clásico examen escrito no debe ser la única forma de evaluar, los test, las entrevistas, los exámenes orales, la observación del trabajo, la autoobservación, la observación entre iguales, etc., son fuentes de información para evaluar a alumnas y alumnos. La justificación de esta variedad de actividades para la evaluación hay que buscarla en los distintos tipos de contenidos que hay que evaluar. Si en la didáctica de la materia se han utilizado la calculadora y el ordenador, también deberán formar parte del proceso de evaluación, pues el aprendizaje de su utilización y manejo forma parte del citado proceso. Por último cabe señalar que para construir y evaluar pruebas de evaluación, habrá de tenerse en cuenta los criterios de evaluación.
     Las valoraciones relativas a las alumnas y los alumnos efectuadas durante el proceso de evaluación han de servir para la determinación del punto de partida para abordar un nuevo bloque de contenido (evaluación inicial); determinar el avance durante el proceso de aprendizaje (evaluación continua) y conocer el grado de adquisición de los objetivos perseguidos (evaluación final). Las valoraciones hechas en cada momento han de servir de base a la reorientación y posibles modificaciones del proceso educativo y han de ser individualizadas en el sentido de que no se persigue la comparación con una norma o media estadística sino que tiene en cuenta la situación de partida, las características de cada individuo o del grupo, las condiciones y limitaciones, etc.
     A la vez el profesorado autoevaluará su práctica docente; esta autoevaluación será la base para, en los casos en que sea necesario, modificar su metodología, reorientar la organización del trabajo en el aula, rectificar el ritmo, retirar o reorganizar las actividades que han parecido menos apropiadas, introducir nuevas actividades, descubrir los puntos que despiertan mayor interés en los alumnos y las alumnas...
     En todo momento el profesorado habrá de tener en cuenta la diversidad del alumnado por razón de cultura y de capacidades, y sobre todo por la diversidad de intereses que tienen que ver con el futuro académico y profesional que cada alumno y alumna imagina para sí y que repercutirá en la elección de estudios y actividades posteriores.

2. Objetivos generales
     El desarrollo de esta materia ha de contribuir a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades:
     1.– Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan avanzar en la propia Matemática en sus conexiones y aplicaciones en otras materias, para poder acceder a estudios posteriores relacionados con las Humanidades y las Ciencias Sociales.
     2.– Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, en particular las relacionadas con las Humanidades y las Ciencias Sociales utilizándolos con autonomía, perseverancia, eficacia y creatividad para abordar situaciones problema abiertas y contrastando diferentes estrategias de resolución de problemas.
     3.– Relacionar las Matemáticas con el entorno cultural, social y económico, reconociendo aspectos del mismo que pueden ser tratados, mediante modelos teóricos, utilizando contenidos numéricos, lógicos, gráficos o aleatorios.
     4.– Comunicarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, con el rigor y la precisión necesaria, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas.
     5.– Analizar y valorar la información relacionada con las Humanidades y las Ciencias Sociales proveniente de diferentes fuentes, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión propia que les permita expresarse criticamente sobre problemas actuales.
     6.– Utilizar el razonamiento lógico en la elaboración y comprobación de conjeturas, formulación de contraejemplos, construcción de argumentos sencillos válidos, justificación de procedimientos, encadenamiento de argumentaciones, y seguimiento de razonamientos lógicos, comprobando su validez o detectando errores cuando los haya.
     7.– Comprender y valorar la importancia y utilidad de los conocimientos matemáticos como herramienta de aplicación en otras materias, en especial las relacionadas con las Ciencias Humanas y Sociales y la Economía, apreciando su papel como parte de nuestra cultura y como elemento formativo, no sólo en aspectos conceptuales y procedimentales, sino también en actitudes como visión crítica, necesidad de argumentaciones y justificaciones rigurosas, cuestionamiento de apreciaciones intuitivas, apertura a nuevas ideas ...
     8.– Valorar el trabajo en grupo como elemento base de interacción personal en el proceso de enseñanzaaprendizaje de las Matemáticas, comprendiendo la importancia de las ideas y opiniones diversas, de las estrategias y métodos personales de planteo y resolución ajenos, etc., como fuente de mejora y enriquecimiento del pensamiento propio.
     9.– Adquirir y utilizar actitudes propias del trabajo científico y de la investigación socioeconómica como: comprobación y contraste de datos, análisis crítico, vigilancia en la selección de muestras adecuadas, valoración de la precisión y planteamiento de ideas novedosas.

3. Contenidos
BLOQUE 1: CONTENIDOS ACTITUDINALES (de carácter transversal)
     1. Aprecio y valoración crítica de la economía potencia y elegancia del lenguaje matemático (numérico, algebraico, gráfico, estadístico, ...) para describir y estudiar la realidad y disposición favorable para su uso.
     2. Confianza en las propias capacidades y conocimientos matemáticos para enfrentarse a situaciones nuevas.
     3. Disposición favorable para la utilización de métodos matemáticos con tenacidad, flexibilidad y creatividad para la búsqueda de soluciones o la mejora de las ya obtenidas o en la toma de decisiones.
     4. Reconocimiento y valoración crítica de las posibilidades que aporta el uso de las nuevas tecnologías (calculadora y ordenador) para el tratamiento de la información de tipo matemático y la resolución de problemas.
     5. Curiosidad para abordar matemáticamente problemas y situaciones relacionados con las Humanidades y las Ciencias Sociales, disposición a valorar e interpretar críticamente las soluciones obtenidas.
     6. Perseverancia y tenacidad al enfrentarse a la resolución de problemas, buscando soluciones creativas, contrastando los resultados y el proceso seguido.
     7. Tendencia a consultar y contrastar varias fuentes de información para analizar una situación.
     8. Valoración de la importancia de los conocimientos matemáticos y la necesidad de su introducción, para aplicarlos en resolución de problemas ajenos a las propias matemáticas.
     9. Reconocimiento y estima del trabajo en equipo para abordar de forma eficaz diferentes problemas, respetando opiniones o planteamientos ajenos.
     10. Valoración de la importancia de la resolución de problemas, utilizando distintas estrategias, procedimientos y contenidos matemáticos, como elemento fundamental del aprendizaje de las Matemáticas.
     11. Reconocimiento y aprecio de la necesidad del orden y precisión en la puesta en práctica de algoritmos y procedimientos.
     12. Valoración crítica de las informaciones de tipo matemático, expresadas en diversos medios o situaciones, y del uso que se hace de las mismas, rechazando su abuso o empleo incorrecto.
     13. Flexibilidad para abordar los distintos problemas desde diferentes puntos de vista y para aceptar los diferentes enfoques de otras personas.
     14. Revisión sistemática de los procesos y resultados, valorando la utilidad de dichos procesos y contextualizando los resultados obtenidos.
BLOQUE 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (de carácter transversal)
A) Contenidos procedimentales
     1. Elaboración y análisis de protocolos individuales de resolución de problemas.
     2. Elaboración y análisis de protocolos de resolución de problemas para trabajo en grupo (la formación del grupo, el reparto del trabajo, los diferentes papeles: moderador, secretario, ..., técnicas para la obtención y evaluación de ideas, análisis retrospectivo del proceso, presentación de resultados, ...)
     3. Aplicación de las fases más usuales en la resolución de problemas.
     4. Puesta en práctica de diferentes estrategias de actuación y de las decisiones ejecutivas en el trabajo en grupo.
     5. Uso de estrategias generales relativas al pensamiento científico: Elaboración de conjeturas, justificación y refutación de hipótesis, rigor en las argumentaciones y razonamientos, ...
     6. Utilización de técnicas heurísticas para la resolución de problemas:
     • Establecer analogías,
     • Resolver casos más sencillos,
     • Dividir el problema en pequeños problemas,
     • Hacer esquemas, figuras, diagramas, ...;
     • Elegir una notación adecuada, Buscar códigos, ...
     • Experimentar sacar conclusiones;
     • Suponer el problema resuelto; Suponer que no hay solución; ...
     • Analizar casos límites y sacar conclusiones,
     • El principio del palomar,
     • ...
     7. Utilización de métodos específicos de resolución de problemas: Diagramas de árbol, grafos, combinatoria básica...
     8. Resolución de problemas históricos que hayan sido punto de partida para la creación de nuevos conocimientos estudiados este curso o aplicables en la actualidad.
     9. Uso de la calculadora y el ordenador en la resolución de problemas.
     10. Reconocimiento y formulación de problemas a partir de situaciones reales dentro y fuera de las matemáticas.
BLOQUE 3: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
A) Contenidos conceptuales
     1. El número irracional.
     • Necesidad de su introducción.
     • Representación en la recta numérica.
     • Operaciones
     • Aplicaciones y utilización.
     • Estimaciones y aproximaciones de cantidades. Cotas de error.
     2. El número real.
     • Necesidad de su introducción.
     • Representación,
     • Aplicación y utilización.
     • Notación científica.
     3. La recta real. Aproximación intuitiva a algunas propiedades topológicas de los números reales.
     4. Lenguaje algebraico:
     • Operaciones y simplificaciones con expresiones algebraicas básicas (polinómicas y fraccionarias).
     • La ecuación de segundo grado.
     • Sistemas de ecuaciones.
     • Inecuaciones
     5. Concepto de logaritmo y manejo de sus propiedades y aplicaciones.
     6. Progresiones.
     • Progresiones aritméticas.
     • Progresiones geométricas.
     • Interés y anualidades.
B) Contenidos procedimentales
     1. Utilización de radicales para la obtención de números irracionales.
     2. Elección de diversas estrategias para estimar cantidades, y realización de operaciones con números reales en función de la precisión requerida.
     3. Determinación de cotas de error adecuadas a cada situación.
     4. Representación de los números irracionales en la recta real.
     5. Aplicación de la notación científica como forma sencilla de representar, manejar e interpretar cantidades muy grandes o muy pequeñas.
     6. Utilización del cálculo logarítmico y sus propiedades básicas.
     7. Empleo de la calculadora científica para la realización de cálculos, decidiendo sobre la conveniencia de su uso, en función de la complejidad del cálculo.
     8. Traducción de problemas al lenguaje algebraico como forma de clarificar y simplificar diversas situaciones reales.
     9. Utilización de algoritmos para resolver
     • Ecuaciones lineales y de ecuaciones de segundo grado así como práctica en el cálculo mental de las soluciones a partir de los coeficientes.
     • Sistemas de ecuaciones lineales, y de una ecuación lineal y una de segundo grado.
     • Inecuaciones sencillas.
     10. Utilización de algoritmos para la resolución de problemas relacionados con progresiones aritméticas y geométricas en contextos cotidianos o relacionados con las Ciencias Sociales.
     11. Uso del ordenador (hojas de cálculo) en el estudio y resolución de problemas relacionados con interés compuesto y anualidades.
BLOQUE 4: FUNCIONES Y ANÁLISIS
A) Contenidos conceptuales
     1. Funciones y gráficas. Estudio intuitivo de las propiedades de las gráficas de diversos fenómenos sociales y cotidianos.
     2. Interpolación lineal.
     3. Modelos funcionales: Funciones lineales, polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
     4. Operaciones con funciones. Composición.
     5. Dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, continuidad, extremos.
     6. Aproximación al concepto de límite. Ramas infinitas.
     7. Tasa de variación media de funciones sencillas. Introducción a la derivada.
     8. Propiedades características de cada familia de funciones.
B) Contenidos procedimentales
     1. Elaboración de tablas y construcción de gráficas a partir de la descripción de una situación o de su expresión algebraica.
     2. Descripción e interpretación de fenómenos sociales por medio de tablas y gráficas.
     3. Elección de unidades, escalas y ejes.
     4. Obtención de valores desconocidos de funciones dadas por tablas, mediante métodos gráficos y analíticos.
     5. Asignación de una expresión algebraica a una gráfica y viceversa.
     6. Utilización de algún programa informático de representación de funciones para analizar las características globales de una función y estudiar las analogías y diferencias de familias de funciones.
     7. Determinación de máximos y mínimos sobre la gráfica, e interpretación de su significado.
     8. Determinación gráfica y analítica en casos sencillos de ramas infinitas, utilizando la idea intuitiva de límite.
     9. Utilización de la calculadora y/o el ordenador para investigar los puntos significativos de una función.
BLOQUE 5: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
A) Contenidos conceptuales
     1. Variables estadísticas discretas y continuas. Distribución de frecuencias.
     2. Parámetros estadísticos: Medidas de centralización, posicionamiento y dispersión.
     3. Distribuciones bidimensionales. Nube de puntos. Parámetros estadísticos bidimensionales.
     4. Relación funcional y relación aleatoria entre dos variables.
     5. Ajuste intuitivo de una recta a una nube de puntos. Grado de relación entre dos variables. Diferencia entre correlación y causalidad. Coeficiente de correlación. Regresión lineal.
     6. Distribución de probabilidad binomial. La distribución normal como límite de la binomial.
B) Contenidos procedimentales
     1. Utilización del lenguaje estadístico (terminología específica, tablas, gráficas, ...) para describir e interpretar fenómenos de las Ciencias Sociales y Economía.
     2. Uso de algoritmos para el cálculo de los parámetros estadísticos.
     3. Interpretación de datos numéricos correspondientes a fenómenos sociales o económicos, expresados mediante una tabla de doble entrada y/o una nube de puntos.
     4. Interpretación de las nubes de puntos para estimar la relación entre las variables y, en su caso, del valor del coeficiente de correlación.
     5. Aplicación del coeficiente de correlación para decidir sobre el grado de relación entre las variables.
     6. Aplicación de la recta de regresión para interpolar y predecir.
     7. Uso de la calculadora o de programas informáticos para el cálculo de los diferentes parámetros estadísticos.
     8. Elaboración de informes como resultado de investigaciones realizadas sobre fenómenos relativos a las Ciencias Sociales y Economía.
     9. Utilización de las distribuciones binomial y normal para asignar probabilidades.
     10. Ajuste de una distribución binomial a una normal.
     11. Uso de tablas de la binomial y normal para el cálculo de probabilidades.

4. Criterios de evaluación
     1. Reconocer y formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas, elaborar estrategias para su resolución, utilizarlas, cada vez con más confianza, para investigar y entender contenidos matemáticos y para formular modelos matemáticos aplicables a situaciones relacionadas con las Ciencias Humanas y Sociales y la Economía.
     Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para enfrentarse a la resolución de problemas en contextos reales relacionados con las Ciencias Humanas y Sociales y la Economía, utilizando diferentes estrategias propias de la materia y, en su caso, elaborando modelos matemáticos que permitan la utilización de herramientas y técnicas matemáticas propios de este curso.
     2. Expresarse con claridad, orden, precisión y rigor tanto oralmente como por escrito incorporando la terminología, la notación y las formas de expresión gráfica propias de las matemáticas.
     Este criterio pretende evaluar la capacidad de alumnas y alumnos para expresar ideas matemáticas con claridad precisión y rigor oralmente y por escrito; de leer comprensivamente presentaciones matemáticas, de formular definiciones y expresar generalizaciones que se descubran por medio de la investigación; de formular preguntas de aclaración y ampliación en relación con las matemáticas que hayan leído u oído; de valorar la necesidad de unos apuntes ordenados, limpios, operativos y con una mayor cantidad de contenidos, etc.
     3. Utilizar el razonamiento lógico para seguir y juzgar la validez de argumentos lógicos; construir correctamente argumentos sencillos; elaborar y comprobar conjeturas y construir demostraciones de enunciados matemáticos,.
     Se trata de comprobar las destrezas adquiridas por el alumnado en la utilización del razonamiento lógico; su capacidad para construir hipótesis generalizando las observaciones sobre casos particulares (razonamiento inductivo) y después comprobarlas construyendo bien una verificación o un contraejemplo (razonamiento deductivo); su capacidad para demostrar o refutar la validez de un enunciado matemático utilizando correctamente argumentos de carácter lógico-deductivo; su valoración de la importancia de las demostraciones en las matemáticas y su capacidad para reproducirlas o en su caso construirlas.
     4. Establecer relaciones entre los temas matemáticos y entre estos y otras materias reconociendo representaciones equivalentes del mismo concepto, relacionando entre sí los procedimientos de representaciones equivalentes haciendo uso de los diferentes contenidos matemáticos en función de su conveniencia no en función del contexto educativo en que se traten y adquiriendo una idea global de las matemáticas.
     Se trata de comprobar la significatividad de los aprendizajes matemáticos de las alumnas y los alumnos evaluando su capacidad para utilizarlos de una manera creativa en relación con las propias matemáticas y otras áreas y poniendo de manifiesto las analogías y diferencias entre distintas forma de representaciones matemáticas (entre los resultados obtenidos mediante el análisis de la gráfica de una función y la manipulación de su representación algebraica por ejemplo).
     5. Resolver problemas y situaciones extraídas de la vida real, que puedan ser tratadas mediante números racionales o irracionales y expresiones algebraicas sencillas, utilizando estrategias generales o personales y las técnicas matemáticas apropiadas, así como dar una interpretación, ajustada al contexto, de los resultados obtenidos.
     Se pretende evaluar las capacidades y destrezas necesarias para resolver problemas basados en situaciones cercanas a la alumna y al alumno y a las Ciencias Sociales, cuyo tratamiento matemático exija el manejo de distintos tipos de números y la aplicación de técnicas algebraicas básicas, seleccionando la notación más adecuada, ajustando el margen de error y contextualizando los resultados. Se evaluará asimismo el uso que hace de la calculadora.
     6. Reconocer las familias de funciones más frecuentes en los fenómenos económicos y sociales, relacionándolos con sus gráficas, y expresiones algebraicas en casos sencillos, e interpretar situaciones presentadas mediante relaciones funcionales (expresadas en forma de tablas, gráficas o algebraicamente), valorando la importancia de las unidades, escalas y dominio.
     Se trata de evaluar la capacidad de las alumnas y los alumnos para analizar el comportamiento global de determinadas funciones (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, periódicas, racionales sencillas), teniendo en cuenta aspectos cuantitativos y cualitativos.
     7. Utilizar las tablas y gráficas para el estudio de situaciones empíricas relacionadas con fenómenos sociales y analizar dependencias funcionales que no se ajusten a ninguna fórmula algebraica y que propicien la utilización de métodos numéricos para la obtención de valores desconocidos.
     Se quiere comprobar la capacidad de las alumnas y los alumnos para ajustar los datos extraídos de fenómenos concretos, a una función conocida y obtener información suplementaria mediante técnicas numéricas.
     8. A partir de situaciones reales, susceptibles de ser presentadas gráficamente, interpretar y deducir la información en ella contenida, obteniendo conclusiones respecto al crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y tendencias de evolución.
     Se trata de que, a partir del estudio global y local de las funciones, el alumnado sea capaz de extraer conclusiones sobre el comportamiento y evolución de una situación real, sin necesidad de utilizar el cálculo de límites y derivadas.
     9. Distinguir si la relación entre los elementos de un conjunto de datos de una distribución bidimensional es de carácter funcional o aleatorio y extraer conclusiones de tipo cualitativo a partir de su representación gráfica.
     Se pretende comprobar con este criterio que mediante la información gráfica aportada por una nube de puntos, el alumnado es capaz de apreciar el grado y tipo de relación existente entre dos variables y extraer las conclusiones apropiadas. Para ello no es preciso, en este caso, aplicar fórmulas estadísticas para la obtención del valor preciso de un parámetro.
     10. Utilizar el coeficiente de correlación y la recta de regresión para valorar e interpretar el grado y carácter de la relación entre dos variables, en situaciones reales, definidas mediante una distribución bidimensional.
     Se pretende evaluar la capacidad del alumnado para valorar la relación entre dos variables. Además deberá saber relacionar, cualitativamente, las distribuciones bidimensionales y sus nubes de puntos con sus parámetros, siendo menos importante la destreza en la obtención del coeficiente de correlación y recta de regresión, que podrá efectuarse con calculadora u ordenador.
     11. Utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones razonadas ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal, calculando las probabilidades de uno o varios sucesos, mediante tablas o calculadora.
     Se pretende evaluar si las alumnas y los alumnos son capaces de determinar la probabilidad de un suceso, analizar una situación y decidir sobre la opción más conveniente.
     12. Seleccionar estrategias y herramientas matemáticas para enfrentarse a situaciones nuevas, valorando el grado de utilización del razonamiento lógico deductivo para justificar hipótesis y obtener conclusiones razonadas.
     Se pretende que las alumnas y los alumnos sean capaces de resolver problemas y realizar investigaciones, modelizando las situaciones, organizando y codificando la información existente, utilizando las herramientas y destrezas necesarias, y expresando sus argumentaciones mediante los modos propios de la matemática.
     13. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática, tales como : la confianza en sus propias capacidades, la tenacidad y perseverancia ante las dificultades de la materia, así como su reconocimiento del valor de las Matemáticas y del trabajo en grupo.
     Con este criterio se pretende comprobar la adquisición de capacidades imprescindibles en el trabajo científico de análisis de la realidad social o económica, mediante el planteamiento de diversas estrategias en la resolución de problemas y dificultades.
 

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1. Introducción
     La Matemática es una ciencia que aporta el lenguaje preciso y sin ambigüedades que necesitan todas las ciencias para la formulación, interpretación y comunicación de los diferentes problemas, fenómenos y situaciones. Permite «modelizar» científicamente ciertos aspectos de la realidad, es decir, diseñar un sistema de ecuaciones matemáticas que respondan a determinados comportamientos de esa realidad, que puede ser física, social, psicológica o económica.
     Su utilidad reside en el éxito para describir, predecir y permitir actuar sobre la realidad correspondiente teniendo aplicaciones en Geografía, Economía, Estudios de Empresa y Gestión, etc. Las Matemáticas se han convertido en un instrumento de gran potencia y utilidad para representar y extraer información significativa y relevante de los fenómenos estudiados por las Ciencias Sociales y Economía. El Álgebra, el Análisis, y, especialmente, la Estadística son ramas que han demostrado su eficacia en el tratamiento de problemas propios de estas áreas. Ahora bien, el carácter instrumental de las Matemáticas va estrechamente ligado a la funcionalidad de los conocimientos adquiridos, y aquí es necesario hacer una referencia a la construcción del conocimiento matemático.
     Como ya se hacía notar en la Enseñanza Secundaria Obligatoria y en las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I, el pensamiento matemático no consiste solamente en razonamientos deductivos y en demostraciones formales. La organización lógica y la presentación coherente de los conceptos matemáticos son sólo el punto de llegada de un largo proceso de creación, en el que la intuición, la inducción, el ensayo-error y el trabajo duro y paciente han jugado papeles fundamentales. Es, por ello, importante que en la presentación de los contenidos y en el trabajo planificado a realizar, se reflejen todos estos procesos.
     Además, para alcanzar unos conocimientos realmente funcionales y conseguir que el alumnado adquiera confianza y seguridad en su uso, no basta con dominar los contenidos conceptuales. Es también imprescindible trabajar la «forma de hacer Matemáticas», es decir, todos aquellos procedimientos, entendidos en sentido amplio, y actitudes que caracterizan la actividad matemática. Por ello, el trabajo con procedimientos tales como:
     • uso de diferentes lenguajes y su interrelación,
     • algoritmos y técnicas particulares con un propósito concreto,
     • estrategias generales necesarias en la resolución de problemas como estudio de casos particulares, búsqueda de regularidades, elaboración y comprobación o refutación de hipótesis, etc.,
     • toma de decisiones razonadas sobre los pasos y estrategias a emplear, adquieren un papel preponderante en el currículo.
     También hay que fomentar actitudes como la corrección en los razonamientos, crítica de los argumentos, perseverancia en la búsqueda de las soluciones, etc.
     Todos estos procesos contribuyen a crear estructuras mentales y actitudes que trascienden a las propias Matemáticas, destacando así su gran valor formativo. En este sentido la resolución de problemas abiertos, abarcando actividades como la indagación, elección de estrategias adecuadas, particularización, generalización, etc., cobra toda su importancia.
     Estas estrategias de resolución de problemas ya han sido trabajadas en años anteriores, por tanto en este curso se deberán ir ampliando con nuevas estrategias específicas, aplicadas a nuevos contenidos. De esta forma se irán ampliando, interiorizando e integrando, los nuevos aprendizajes para formar una más amplia red de esquemas mentales de resolución, en la que se relacionen los nuevos contenidos y procedimientos permitiendo a las alumnas y los alumnos enfrentarse a nuevos problemas. Además, las satisfacciones que la matemática proporciona, como el apasionamiento del descubrimiento, o la alegría del éxito son más intensas en el trabajo creativo que en la mera repetición de los razonamientos de un modelo deductivo.
     Así como hemos puesto de manifiesto las relaciones entre las Matemáticas y otras Ciencias, es también importante resaltar las relaciones entre diferentes temas matemáticos. Las alumnas y los alumnos que sean capaces de realizar diferentes representaciones de la misma situación o del mismo concepto matemático, viéndolos desde diferentes enfoques, tendrán al mismo tiempo mayor riqueza de herramientas para resolver problemas y una visión más coherente de la materia.
     Si el Bachillerato se plantea como una etapa educativa de carácter único, y con doble finalidad -una formativa, terminal y básica, y otra propedéutica (preparatoria y orientadora) para los estudios posteriores, bien universitarios o profesionales-, el currículo matemático deberá diseñarse y desarrollarse para cumplir también esta misión. De esta forma, se apoyará en los conocimientos matemáticos ya adquiridos por las alumnas y los alumnos en la Enseñanza Secundaria Obligatoria, y deberán satisfacer sus necesidades, tanto para la enseñanza superior, en particular, para la Universidad, como para la continuidad en ciclos formativos profesionales, junto con la contribución a su formación cultural. Con este propósito podemos establecer cinco fines generales para todas las alumnas y los alumnos:
     I. La Expresión Matemática: Se pretende que las alumnas y los alumnos aprendan a comunicarse mediante los diversos lenguajes matemáticos: de forma oral, fomentando la precisión del lenguaje y uso de términos matemáticos en las puestas en común, en la justificación de una idea, pensamiento o razonamiento, para explicar el proceso de resolución de un problema, etc.; o haciendo uso eficaz de las distintas posibilidades que ofrece el lenguaje matemático escrito (algebraico, geométrico, gráfico, etc.) para transcribir ideas, resolver problemas, construir esquemas, figuras o símbolos que simplifiquen escrituras, etc. Esta última idea debe ser apoyada desde un punto de vista actitudinal, en que se valore la necesidad de unos apuntes ordenados, limpios, operativos y con una mayor cantidad de contenidos, no figurando sólo ideas sueltas, inconexas, de difícil estudio, no hay que olvidar que, esos apuntes y anotaciones, van a ser luego el instrumento de apoyo del estudio de las alumnas y los alumnos.
     II. El Razonamiento Matemático: Se pretende que el alumnado aprenda a razonar matemáticamente y desarrolle las capacidades de: utilizar el razonamiento lógico- deductivo, formular ejemplos y contraejemplos, conjeturar, seguir un razonamiento, etc. Aunque los contenidos no contienen muchas demostraciones, es importante que las alumnas y los alumnos puedan seguir algunas de ellas, viendo su necesidad e importancia y puedan reproducir el proceso de demostración.
     III. Las Conexiones Matemáticas: Se trata de que las alumnas y los alumnos se sientan capaces de aplicar las Matemáticas a situaciones prácticas del entorno o cotidianas. Se pueden contemplar, fundamentalmente, tres líneas de trabajo: aplicaciones al entorno próximo, a su vida cotidiana, a otras áreas o materias y a las propias Matemáticas. Hasta ahora ha sido esta última línea la más trabajada, los contenidos matemáticos se han basado en su necesidad para otros contenidos que, a su vez, aparecían para introducir otros y, así, sucesivamente. Sin embargo, si se pretende que la alumna y el alumno realice un aprendizaje significativo y funcional deben ser potenciadas las dos primeras líneas para dotar a los conocimientos matemáticos siempre que sea posible de un significado en un contexto cercano al alumnado y una aplicabilidad en ámbitos diferentes de los matemáticos.
     IV. Aspectos Actitudinales: Se trata de que las alumnas y los alumnos se sientan seguros de su propia capacidad para hacer Matemáticas, y valoren las Matemáticas como herramienta aplicable en diferentes situaciones. Conforme al planteamiento de los objetivos generales, referidos a aspectos actitudinales, básicamente tres son las líneas de actuación fundamentales, que las alumnas y los alumnos: 1) valoren el trabajo de equipo como elemento enriquecedor del proceso de aprendizaje; 2) valoren la importancia de las Matemáticas como elemento de trabajo en diversos contextos, y como formativo para la mejora de sus estructuras de pensamiento y 3) se crean capaces de «hacer Matemáticas», es decir, que confíen en sus capacidades para progresar en la materia y sus aplicaciones.
     V. Resolución de Problemas: Se pretende que las alumnas y los alumnos sean capaces de resolver diversos problemas aplicando diversas estrategias de resolución, y utilizando diversas herramientas como el ordenador o la calculadora. Se apoya en las aportaciones ya hechas para la etapa anterior, que siguen siendo válidas para este ciclo de enseñanza postobligatoria (estrategias de pensamiento, de resolución, técnicas heurísticas, etc.). En principio se plantea como proyección sobre toda la materia, es decir, siempre que se pueda las situaciones de aprendizaje deberán partir de la resolución de una situación problema.
     La posibilidad de utilizar la resolución de problemas va unida al uso de calculadoras y ordenadores. Básicamente se trata de utilizar los nuevos elementos que la moderna tecnología brinda para ayudar al proceso de enseñanzaaprendizaje. El uso de la calculadora ya está planteado desde la anterior etapa obligatoria, es por tanto obligada la continuación de su uso. En primer lugar como sustitutiva de todas las tablas (logarítmicas y trigonométricas), para el cálculo de los parámetros estadísticos, para el trazado y estudio de curvas y funciones, etc., eliminando el tiempo de cálculos tediosos y permitiendo su estudio y análisis. En cuanto al ordenador su potencialidad es, aún, mayor. Los nuevos «software» permiten una simplificación de cálculos (con grandes números o cantidades de datos), con la simulación (números aleatorios...), el estudio completo y detallado de funciones, el trazado de gráficos, curvas y figuras, su desplazamiento, zoom, etc., el cálculo de derivadas e integrales de todo tipo, la utilización de las tablas de las distribuciones, etc. Es, por tanto, necesario enfocar ya determinados temas hacia su tratamiento con el ordenador, de forma que nos podamos centrar más en aquellos aspectos de las Matemáticas relacionados con la expresión matemática, el lenguaje, el razonamiento, la interpretación, las aplicaciones, resolución de problemas, etc., que con aquellos de procesos de cálculo, operatividad, repetición, etc.
     Estos planteamientos que, para pudieran parecer utópicos, no lo son tanto ya que el avance en estos campos se adivina rápido y generalizado (mejores equipos, programas, más baratos y asequibles). De esta forma se han de prever estos cambios y disponer su uso para todas las alumnas y los alumnos o, de lo contrario, se estarán poniendo las bases para una enseñanza discriminatoria, en la que quien primero utilice estas nuevas tecnologías logre unos niveles superiores a los demás.
     Por último, además del carácter instrumental y del valor formativo de las matemáticas, no conviene olvidar el aspecto de «fundamentación teórica», que deberá ser adecuado a las necesidades de las alumnas y los alumnos. Así mientras las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I serán fundamentalmente prácticas y poco técnicas, las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, además de plantear y analizar situaciones más complejas y de recurrir a técnicas y conceptos matemáticos más sofisticados, proporcionarán conocimientos más técnicos, y dependiendo de posibles estudios superiores de las alumnas y los alumnos convendrá mostrar la necesidad del rigor y eficacia de argumentaciones lógicas a través de la comprensión de demostraciones relacionadas con conocimientos intuitivos, potenciando de esta forma la capacidad de razonamiento matemático.
     Para el desarrollo de la materia es fundamental el tratamiento que se debe dar a los bloques de contenido. La lectura de los contenidos se ha de hacer viendo en una dirección los núcleos de contenido matemático a modo clásico, y, en perpendicular, contenidos de carácter transversal que imbricados en los anteriores facilitan la consecución de las capacidades matemáticas que figuran en los Objetivos Generales, y que se pretende que desarrollen y adquieran, a lo largo del Bachillerato, todas las alumnas y los alumnos.
     Esta lectura de los bloques de contenidos tiene una doble importancia, ya que puede servir para:
     • Marcar las pautas del desarrollo de los contenidos.
     • Marcar las líneas de evaluación.
     Marcar las pautas de desarrollo de un contenido quiere decir que su tratamiento deberá adecuarse a la consecución de las capacidades señaladas en los Objetivos Generales. La metodología didáctica del Bachillerato ha de favorecer la capacidad de la alumna y el alumno para aprender por sí mismos, para trabajar en equipo y para aplicar métodos apropiados de investigación; esto significa que, aún teniendo importancia los contenidos matemáticos clásicos, es prioritario el trabajar la adquisición de estructuras de pensamiento correctas y estables que puedan, posteriormente, ser utilizadas con otros contenidos o en otras situaciones, de aprendizaje, de aplicación, etc. Cuando estas estructuras están adquiridas la asimilación de nuevos contenidos, de mayor dificultad o profundidad, es mucho más rápida, efectiva y duradera.
     Elaborar unidades didácticas puede ser la manera más práctica de desarrollar los bloques de contenido, en ellas, deberá haber contenidos de tres tipos: Conceptuales, Procedimentales y Actitudinales, de manera semejante a la planteada en el Diseño Curricular Base de la enseñanza obligatoria, con la diferencia de que los objetivos, en este caso, tendrían un mayor peso conceptual que en aquél.
     Marcar las líneas de evaluación significar concretar lo que queremos evaluar, es decir, concretar aquellas capacidades o aspectos de ellas marcadas en los Objetivos Generales del Área, de esta etapa postobligatoria, para su evaluación.
     Como en cualquier proceso educativo dos son los tipos de evaluación que se deben realizar:
     • Evaluación de las alumnas y los alumnos y
     • Evaluación del proceso enseñanza-aprendizaje y los elementos que lo integran (currículo, profesorado, resultados, etc.).
     Ambos son igualmente importantes aunque, lógicamente, tiene más transcendencia el primero ya que hacia ellas y ellos va dirigido el proyecto y el proceso educativo.
     Las pruebas a realizar para la evaluación deben ser variadas, ya que variadas son las actividades que deben realizarse. Esto significa que el clásico examen escrito no debe ser la única forma de evaluar, los test, las entrevistas, los exámenes orales, la observación del trabajo, la autoobservación, la observación entre iguales, etc., son fuentes de información para evaluar a alumnos y alumnas. La justificación de esta variedad de actividades para la evaluación hay que buscarla en los distintos tipos de contenidos que hay que evaluar. Si en la didáctica de la materia se han utilizado la calculadora y el ordenador, también deberán formar parte del proceso de evaluación, pues el aprendizaje de su utilización y manejo forma parte del citado proceso. Por último cabe señalar que para construir y evaluar pruebas de evaluación, habrá de tenerse en cuenta los criterios de evaluación.
     Las valoraciones relativas a las alumnas y alumnos efectuadas durante el proceso de evaluación han de servir para la determinación del punto de partida para abordar un nuevo bloque de contenido (evaluación inicial); determinar el avance durante el proceso de aprendizaje (evaluación continua) y conocer el grado de adquisición de los objetivos perseguidos (evaluación final). Las valoraciones hechas en cada momento han de servir de base a la reorientación y posibles modificaciones del proceso educativo y han de ser individualizadas en el sentido de que no se persigue la comparación con una norma o media estadística sino que tiene en cuenta la situación de partida, las características de cada individuo o del grupo, las condiciones y limitaciones, etc.
     A la vez el profesorado autoevaluará su práctica docente; esta autoevaluación será la base para, en los casos en que sea necesario, modificar su metodología, reorientar la organización del trabajo en el aula, rectificar el ritmo, retirar o reorganizar las actividades que han parecido menos apropiadas, introducir nuevas actividades, descubrir los puntos que despiertan mayor interés en las alumnas y los alumnos...
     En todo momento el profesorado habrá de tener en cuenta la diversidad del alumnado por razón de cultura y de capacidades, y sobre todo por la diversidad de intereses que tienen que ver con el futuro académico y profesional que cada alumna y alumno imagina para sí y que repercutirá en la elección de estudios y actividades posteriores.

2. Objetivos generales
     El desarrollo de esta materia ha de contribuir a que las alumnas y los alumnos adquieran las siguientes capacidades:
     1.– Comprender los conceptos, procedimientos y estrategias matemáticas que les permitan avanzar en la propia Matemática en sus conexiones y aplicaciones en otras materias, para poder acceder a estudios posteriores relacionados con las Humanidades y las Ciencias Sociales.
     2.– Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, en particular las relacionadas con las Humanidades y las Ciencias Sociales utilizándolos con autonomía, perseverancia, eficacia y creatividad para abordar situaciones problema abiertas y contrastando diferentes estrategias de resolución de problemas.
     3.– Relacionar las Matemáticas con el entorno cultural, social y económico, reconociendo aspectos del mismo que pueden ser tratados, mediante modelos teóricos, utilizando contenidos numéricos, lógicos, gráficos o aleatorios.
     4.– Comunicarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, con el rigor y la precisión necesaria, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticas
     5.– Analizar y valorar la información relacionada con las Humanidades y las Ciencias Sociales proveniente de diferentes fuentes, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión propia que les permita expresarse criticamente sobre problemas actuales..
     6.– Utilizar el razonamiento lógico en la elaboración y comprobación de conjeturas, formulación de contraejemplos, construcción de argumentos sencillos válidos, justificación de procedimientos, encadenamiento de argumentaciones, y seguimiento de razonamientos lógicos, comprobando su validez o detectando errores cuando los haya.
     7.– Comprender y valorar la importancia y utilidad de los conocimientos matemáticos como herramienta de aplicación en otras materias, en especial las relacionadas con las Ciencias Humanas y Sociales y a la Economía, apreciando su papel como parte de nuestra cultura; y como elemento formativo, no sólo en aspectos conceptuales y procedimentales sino también en actitudes como visión crítica, necesidad de argumentaciones y justificaciones rigurosas, cuestionamiento de apreciaciones intuitivas, apertura a nuevas ideas ...
     8.– Valorar el trabajo en grupo como elemento base de interacción personal en el proceso de enseñanzaaprendizaje de las Matemáticas, comprendiendo la importancia de las ideas y opiniones diversas, de las estrategias y métodos personales de planteo y resolución ajenos, etc., como fuente de mejora y enriquecimiento del pensamiento propio.
     9.– Adquirir y utilizar actitudes propias del trabajo científico y de la investigación socioeconómica como: comprobación y contraste de datos, análisis crítico, vigilancia en la selección de muestras adecuadas, valoración de la precisión y planteamiento de ideas novedosas.

3. Contenidos
BLOQUE 1: CONTENIDOS ACTITUDINALES (de carácter transversal)
     1. Aprecio y valoración crítica de la economía, potencia y elegancia del lenguaje matemático (numérico, algebraico, gráfico, estadístico, ...) para describir y estudiar la realidad y disposición favorable para su uso.
     2. Confianza en las propias capacidades y conocimientos matemáticos para enfrentarse a situaciones nuevas.
     3. Disposición favorable para la utilización de métodos matemáticos con tenacidad, flexibilidad y creatividad para la búsqueda de soluciones o la mejora de las ya obtenidas o en la toma de decisiones.
     4. Reconocimiento y valoración crítica de las posibilidades que aporta el uso de las nuevas tecnologías (calculadora y ordenador) para el tratamiento de la información de tipo matemático y la resolución de problemas.
     5. Curiosidad para abordar matemáticamente problemas y situaciones relacionados con las Humanidades y las Ciencias Sociales, disposición a valorar e interpretar críticamente las soluciones obtenidas.
     6. Perseverancia y tenacidad al enfrentarse a la resolución de problemas, buscando soluciones creativas, contrastando los resultados y el proceso seguido.
     7. Tendencia a consultar y contrastar varias fuentes de información para analizar una situación.
     8. Valoración de la importancia de los conocimientos matemáticos y la necesidad de su introducción, para aplicarlos en resolución de problemas ajenos a las propias matemáticas.
     9. Reconocimiento y estima del trabajo en equipo para abordar de forma eficaz diferentes problemas, respetando opiniones o planteamientos ajenos.
     10. Valoración de la importancia de la resolución de problemas, utilizando distintas estrategias, procedimientos y contenidos matemáticos, como elemento fundamental del aprendizaje de las Matemáticas.
     11. Reconocimiento y aprecio de la necesidad del orden y precisión en la puesta en práctica de algoritmos y procedimientos.
     12. Valoración crítica de las informaciones de tipo matemático, expresadas en diversos medios o situaciones, y del uso que se hace de las mismas, rechazando su abuso o empleo incorrecto.
     13. Flexibilidad para abordar los distintos problemas desde diferentes puntos de vista y para aceptar los diferentes enfoques de otras personas.
     14. Revisión sistemática de los procesos y resultados, valorando la utilidad de dichos procesos y contextualizando los resultados obtenidos.
BLOQUE 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (de carácter transversal)
A) Contenidos procedimentales
     1. Elaboración y análisis de protocolos individuales de resolución de problemas.
     2. Elaboración y análisis de protocolos de resolución de problemas para trabajo en grupo (la formación del grupo, el reparto del trabajo, los diferentes papeles: moderador, secretario, ..., técnicas para la obtención y evaluación de ideas, análisis retrospectivo del proceso, presentación de resultados, ...).
     3. Aplicación de las fases más usuales en la resolución de problemas.
     4. Puesta en práctica de diferentes estrategias de actuación y de las decisiones ejecutivas en el trabajo en grupo.
     5. Utilización de modelos de pensamiento específicos para la resolución de problemas: Inducción matemática, Reducción al absurdo ...
     6. Utilización de técnicas heurísticas para la resolución de problemas:
     • Establecer analogías,
     • Resolver casos más sencillos,
     • Dividir el problema en pequeños problemas,
     • Hacer esquemas, figuras, diagramas, ...;
     • Elegir una notación adecuada, Buscar códigos, ...
     • Experimentar sacar conclusiones;
     • Suponer el problema resuelto; Suponer que no hay solución; ...
     • Analizar casos límites y sacar conclusiones,
     • El principio del palomar,
     • ...
     7. Utilización de métodos específicos de resolución de problemas: Diagramas de árbol, grafos, combinatoria básica...
     8. Resolución de problemas históricos que hayan sido punto de partida para la creación de nuevos conocimientos estudiados este curso o aplicables en la actualidad.
     9. Uso de la calculadora y el ordenador en la resolución de problemas.
     10. Descrición de situaciones reales mediante modelos matemáticos y utilización de los mismos para predecir su evolución; interpretando y evaluando los resultados y la eficacia del modelo.
BLOQUE 3: ÁLGEBRA
A) Contenidos conceptuales
     1. Matrices. Operaciones con matrices.
     2. Determinante de una matriz. Propiedades.
     3. Regla de Cramer.
     4. Programación lineal bidimensional.
B) Contenidos procedimentales
     1. Traducción al lenguaje algebraico de problemas cotidianos que puedan expresarse mediante ecuaciones lineales.
     2. Resolución de sistemas, revisión y contextualización de las soluciones obtenidas.
     3. Interpretación de las matrices y sus operaciones en el contexto de problemas sociales y económicos.
     4. Cálculo de determinantes, simplificación y reducción.
     5. Utilización de técnicas de resolución de problemas extraídos de las Ciencias Sociales y de sistemas de ecuaciones lineales: Triangulación y Cramer
     6. Aplicación de métodos analíticos y gráficos para resolver problemas de programación lineal.
     7. Empleo del ordenador para el tratamiento de diferentes problemas algebraicos.
BLOQUE 4: ANÁLISIS
A) Contenidos conceptuales
     1. Tasa de variación media e instantánea de funciones sencillas.
     2. Concepto de límite. Continuidad y discontinuidades.
     3. Problema de la tangente. Derivada de una función en un punto. Su interpretación (pendiente de una curva y variación de una función).
     4. Derivada de funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas.
     5. Problema del área. Aproximación al concepto de integral definida.
     6. Integral indefinida. Concepto. Relación entre primitiva y área. Regla de Barrow.
B) Contenidos procedimentales
     1. Cálculo de límites sencillos. Utilización de la calculadora para analizar tendencias.
     2. Representación gráfica de la tangente a una curva en un punto.
     3. Cálculo de derivadas utilizando las reglas para el producto, cociente y composición.
     4. Aplicación a la interpretación y determinación de las propiedades de fenómenos basados en situaciones reales contextualizadas o correspondientes a las Ciencias Sociales y la Economía.
     5. Utilización de las derivadas para resolver problemas de optimización.
     6. Uso de técnicas elementales para el cálculo de primitivas.
     7. Aplicación de la integral para el cálculo de áreas sencillas.
     8. Empleo del ordenador en el cálculo de límites, derivadas, primitivas, áreas.
BLOQUE 5: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
A) Contenidos conceptuales
     1. Experiencias aleatorias compuestas. Probabilidad condicionada, total y a posteriori.
     2. Introducción a la inferencia estadística.
     3. Problemas relacionados con la elección de muestras, las condiciones de representatividad y análisis de las conclusiones que cabe extraer de ellas.
     4. Estudio de algún test de contraste de hipótesis basado en la distribución normal.
B) Contenidos procedimentales
     1. Descripción de sucesos y cálculo de sus probabilidades, utilizando diferentes técnicas.
     2. Utilización de técnicas de recuento: combinatoria, diagrama en árbol,...
     3. Aplicación del cálculo de probabilidades a situaciones reales de la vida cotidiana.
     4. Formulación de conjeturas sobre fenómenos aleatorios, aceptándolas o rechazándolas a partir del análisis riguroso que proporciona el cálculo de probabilidades.
     5. Empleo de programas informáticos de simulación para el estudio de fenómenos aleatorios.
     6. Organización y ejecución del proceso de análisis y obtención de conclusiones sobre alguna característica de una determinada población (a partir de una muestra aleatoria).
     7. Utilización de algún tipo de test para verificar la validez de una hipótesis de inferencia.

4. Criterios de evaluación
     1. Reconocer y formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas, elaborar estrategias para su resolución, utilizarlas, cada vez con más confianza, para investigar y entender contenidos matemáticos y para formular modelos matemáticos aplicables a situaciones relacionadas con las Ciencias Humanas y Sociales y la Economía.
     Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para enfrentarse a la resolución de problemas en contextos reales relacionados con las Ciencias Humanas y Sociales y la Economía, utilizando diferentes estrategias propias de la materia y, en su caso, elaborando modelos matemáticos que permitan la utilización de herramientas y técnicas matemáticas propias de este curso.
     2. Expresarse con claridad, orden, precisión y rigor tanto oralmente como por escrito incorporando la terminología, la notación y las formas de expresión gráfica propias de las matemáticas.
     Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para expresar ideas matemáticas con claridad precisión y rigor oralmente y por escrito; de leer comprensivamente presentaciones matemáticas, de formular definiciones y expresar generalizaciones que se descubran por medio de la investigación; de formular preguntas de aclaración y ampliación en relación con las matemáticas que hayan leído u oído; de valorar la necesidad de unos apuntes ordenados, limpios, operativos y con una mayor cantidad de contenidos, etc.
     3. Utilizar el razonamiento lógico para seguir y juzgar la validez de argumentos lógicos; construir correctamente argumentos sencillos; elaborar y comprobar conjeturas y construir demostraciones de enunciados matemáticos.
     Se trata de comprobar las destrezas adquiridas por el alumnado en la utilización del razonamiento lógico; su capacidad para construir hipótesis generalizando las observaciones sobre casos particulares (razonamiento inductivo) y después comprobarlas construyendo bien una verificación o un contraejemplo (razonamiento deductivo); su capacidad para demostrar o refutar la validez de un enunciado matemático utilizando correctamente argumentos de carácter lógico-deductivo; su valoración de la importancia de las demostraciones en las matemáticas y su capacidad para reproducirlas o en su caso construirlas.
     4. Establecer relaciones entre los temas matemáticos y entre estos y otras materias reconociendo representaciones equivalentes del mismo concepto, relacionando entre sí los procedimientos de representaciones equivalentes haciendo uso de los diferentes contenidos matemáticos en función de su conveniencia no en función del contexto educativo en que se traten y adquiriendo una idea global de las matemáticas.
     Se trata de comprobar la significatividad de los aprendizajes matemáticos de las alumnas y los alumnos evaluando su capacidad para utilizarlos de una manera creativa en relación con las propias matemáticas y otras áreas y poniendo de manifiesto las analogías y diferencias entre distintas forma de representaciones matemáticas (entre los resultados obtenidos mediante el análisis de la gráfica de una función y la manipulación de su representación algebraica por ejemplo).
     5. Utilizar el lenguaje matricial como instrumento para organizar y codificar informaciones procedentes de situaciones susceptibles de ser analizadas mediante datos estructurados, y aplicar las operaciones para el tratamiento de dichos datos y la obtención de conclusiones.
     Se quiere comprobar la capacidad de las alumnas y los alumnos de estructurar, codificar y sacar conclusiones de determinados datos de fenómenos reales, utilizando las matrices y sus operaciones.
     6. Resolver problemas y situaciones extraídas de la vida real y de las Ciencias Sociales y Económicas, utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, sistemas de ecuaciones lineales y programación lineal bidimensional y dar una interpretación, ajustada al contexto, de los resultados obtenidos.
     Se pretende evaluar las destrezas necesarias para resolver problemas basados en situaciones cercanas al alumnado y a las Ciencias Sociales y Economía, que exija la transcripción del mismo al lenguaje algebraico, la aplicación de herramientas algebraicas adecuadas, así como la interpretación crítica de las soluciones. Se evaluará asimismo el uso que se hace de la calculadora u ordenador.
     7. A partir de situaciones reales, extraídas de fenómenos habituales de las Ciencias Sociales, analizar, cualitativa y cuantitativamente, las funciones que las describen, utilizando los conceptos de límite, derivada, crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, para sacar conclusiones sobre sus propiedades y características.
     Se quiere valorar la capacidad del alumnado para obtener las propiedades locales de funciones correspondientes a fenómenos reales, mediante las herramientas analíticas.
     8. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico y sociológico, interpretando, dentro del contexto, el resultado obtenido.
     Este criterio va dirigido a valorar la capacidad para utilizar las técnicas de obtención de valores extremos en situaciones relacionadas con las Ciencias Sociales: expresando las relaciones y restricciones en forma algebraica y aplicando el cálculo de derivadas. Se evaluará también el uso del ordenador.
     9. Utilizar el cálculo integral como medio para calcular primitivas de algunas funciones sencillas, interpretar su significado como área bajo una curva y aplicarlo al cálculo de áreas sencillas.
     Este criterio está destinado fundamentalmente a los futuros estudiantes de Economía. Se pretende valorar el conocimiento que las alumnas y los alumnos tienen de las técnicas elementales de integración y sus aplicaciones a casos sencillos. También se valorará el uso del ordenador.
     10. Reconocer fenómenos aleatorios susceptibles de ser estudiados mediante la asignación e interpretación de probabilidades a sucesos simples y compuestos (dependientes o independientes), utilizando técnicas de recuento directo, combinatoria, diagramas de árbol, etc.
     Se trata de que identifiquen los fenómenos aleatorios, que realicen los cálculos pertinentes, ayudados por las herramientas necesarias, valoren los resultados y tomen decisiones fundamentadas.
     11. Planificar y realizar estudios concretos partiendo de la elaboración de encuestas, selección de la muestra y estudio estadístico de los datos obtenidos, para inferir conclusiones, con el nivel de confianza deseado, sobre determinadas características de la población estudiada.
     Se quiere, con este criterio, evaluar la capacidad del alumnado de relacionar la información obtenida de una muestra con las conclusiones inferidas para la población, justificando dichas conclusiones. Se evaluarán también modos y actitudes propias del trabajo en pequeño grupo como la disposición, colaboración y contraste de ideas de las alumnas y los alumnos.
     12. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones en la interpretación de determinados datos.
     La alumna o el alumno ha de mostrar, a través de este criterio, una actitud crítica ante las informaciones que, revestidas de un formalismo estadístico, intentan deformar la realidad favoreciendo intereses determinados. Los informes a los que se refiere podrán incluir datos en forma de tabla o gráfica, parámetros obtenidos a partir de ellas, así como posibles interpretaciones.
     13. Utilizar estrategias personales o generales para enfrentarse a situaciones nuevas, elaborar hipótesis, utilizando, en su caso, el razonamiento lógico-deductivo para argumentar y sacar conclusiones, y aplicar los conocimientos matemáticos pertinentes, mostrando confianza en sus propias capacidades y trabajando con tenacidad y perseverancia.
     Este criterio pretende valorar la capacidad del alumnado de utilizar el «modo de hacer matemático», para afrontar diversas situaciones de la vida real.