Introducción
     El aprendizaje matemático ha sido tradicionalmente considerado como imprescindible en la enseñanza obligatoria. Sin embargo la concepción de estos conocimientos, su enfoque educativo, la incidencia que se les supone en el desarrollo cognitivo y social de los alumnos y en definitiva la importancia que se les atribuye, ha ido modificándose, a tenor de los cambios operados en los modelos de organización social y, consecuentemente, en las ideas y planteamientos educativos.
     Una de las características de la sociedad actual es la de estar sometida a continuos cambios. Los avances tecnológicos y la creciente importancia de los medios de comunicación, hacen necesaria la adaptación de los ciudadanos a situaciones nuevas y su capacitación para recibir, procesar y emitir información cada vez más tecnificada. De otra parte, en nuestra cultura, las decisiones políticas y sociales implican aspectos técnicos que es necesario entender para participar de forma activa en los procesos colectivos.
     Desde esta perspectiva conviene interrogarse acerca de en qué medida los conceptos y procedimientos matemáticos pueden considerarse potencialmente útiles para favorecer la formación integral de las personas y atender a las demandas y necesidades que esta sociedad les plantea.
     La resolución de problemas, los significados de los lenguajes matemáticos, los modos en que pueden hacerse conjeturas y razonamientos, capacitarán a los alumnos y alumnas para analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos, entender situaciones e informaciones y acomodarse a contextos cambiantes. Así el aprendizaje progresivo de los conocimientos matemáticos contribuirá al desarrollo cognitivo de los alumnos y a su formación potenciando capacidades y destrezas básicas como la observación, representación, interpretación de datos, análisis, síntesis, valoración, aplicación, actuación razonable, etc.
     Considerando las ideas anteriores, el Currículum del Area de Matemáticas que se presenta para la Educación Secundaria Obligatoria, quiere partir de una concepción de este Area integradora y cultural, superadora de la visión academicista, encerrada sobre sí misma y principalmente basada en la deducción que con frecuencia la ha caracterizado.
     Desde esta opción, los fines que se atribuyen a la formación matemática son los de favorecer, fomentar y desarrollar en los alumnos la capacidad para explorar, formular hipótesis, razonar lógicamente y predecir, así como la facultad de usar de forma efectiva diversas estrategias y procedimientos matemáticos para plantearse y resolver problemas relacionados con la vida cultural, social y laboral.
     En definitiva, la integración de los miembros más jóvenes en una sociedad tan compleja como la actual, hace imprescindible la adquisición de una formación matemática básica, por cuanto los aprendizajes que procura resultan útiles para resolver problemas cotidianos y para el reconocimiento de importantes claves del patrimonio cultural colectivo.
     Así pues, se opta por una Matemática comprensiva, amplia, cognitiva y procedimental, que ofrezca vías y claves para responder a los interrogantes planteados y faculte para actuar sobre el medio y comprenderlo.
     La génesis de muchos de estos conocimientos y los métodos de trabajo que le son propios, avalan esta opción. El hombre, a través del tiempo se ha interesado por comprender lo que le rodea, estableciendo y expresando relaciones (desde las más simples a las más complejas) sobre la realidad. Para ello ha operado con los elementos de esta realidad, aplicando su propio pensamiento.
     Los conocimientos matemáticos han surgido, con frecuencia, de la necesidad de resolver cuestiones ligadas a la regulación de prácticas sociales como los intercambios comerciales y el reparto de la tierra o del hábitat (arquitectura y urbanismo). Por motivos como éste, muchos de los conocimientos son hoy de carácter procedimental y se justifican por su valor funcional.
     Paralelamente, se planteó la necesidad de validar y generalizar los procedimientos empleados, reflexionando sobre ellos, haciendo conjeturas, probando, refutando, etc. De esta forma se articulan cuerpos estructurados de conceptos y procedimientos, que se caracterizan por su elevado nivel de abstracción y formalización, por la lógica de las relaciones que constituyen su naturaleza interna y por expresarse en códigos concisos y rigurosos.
     En una gran medida, el conocimiento matemático tiene su origen en la capacidad humana para considerar los elementos de su medio, actuando sobre ellos y abstrayendo determinadas características, propiedades y relaciones. Se conforma de esta manera un conjunto coherente y razonable de relaciones que resulta formativo conocer y apreciar debidamente.
     Los conocimientos matemáticos constituyen para los alumnos, un campo idóneo donde ejercitar el pensamiento, contribuyendo a su desarrollo intelectual. La propia estructura de esta nociones, que se potencian cuando se formulan problemas, se piensan estrategias de solución, se valoran y revisan resultados, etc., dotan al aprendizaje matemático de un carácter (investigativo, descubridor y crítico) que genera y, a la vez, utiliza esquemas inteligentes.
     Consecuentemente, la Matemática debe presentarse a los alumnos más como un proceso de búsqueda, de ensayos y errores, que persigue la fundamentación de sus métodos y la construcción de significados a través de la resolución de problemas, que como un cuerpo de conocimientos organizado y acabado.
     Al poner en juego la capacidad de operar con elementos no necesariamente reales, el aprendizaje matemático se convierte en potenciador de la imaginación, la iniciativa y la flexibilidad del pensamiento, contribuyendo, también de esta forma, al desarrollo de la inteligencia.
     No menos importante resulta la consideración de los conocimientos matemáticos para la comunicación, como lenguaje con el que es posible referirse a múltiples situaciones e informaciones, de manera concisa, clara e inteligible. El Sistema Educativo debe favorecer su cabal comprensión por la mayoría de los ciudadanos.
     Durante la Educación Primaria los alumnos han partido del ámbito de lo perceptivo y cualitativo, evolucionado hacia el pensamiento lógico concreto. A lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria deberá favorecerse el tránsito desde las experiencias matemáticas intuitivas, vinculadas a la acción propia, hasta el conocimiento más estructurado con un incremento progresivo de aplicación, abstracción, simbolización y formalización.
     El desarrollo de la competencia cognitiva general de los alumnos que ocurrirá durante la Educación Secundaria Obligatoria, descansa sobre la posibilidad de abstraer relaciones, realizar inferencias y operar con relaciones simbólicas a partir de la manipulación de recursos diversos (objetos físicos, materiales estructurados, representaciones o modelos). Esto marca una diferencia -y también un puente- con la etapa anterior, que depende esencialmente de las relaciones ligadas a objetos concretos. Vinculada estrechamente con esto, se encuentra la posibilidad de trascender las informaciones concretas sobre "lo real", dando entrada a las suposiciones, las conjeturas y las hipótesis como objeto de pensamiento.
     La capacidad de razonar sobre lo posible más allá de lo que puede percibirse directamente en una situación concreta, junto con la capacidad de manipular relaciones simbólicas, están en la base del razonamiento hipotético deductivo, que abre una importante vía de acceso a los componentes más formales y deductivos del pensamiento matemático.
     Debe considerarse que los aspectos más abstractos, formales y deductivos de la ciencia matemática siguen estando, a menudo fuera de las posibilidades de comprensión de los alumnos y alumnas, incluso en los últimos años de la Educación Secundaria Obligatoria. Tampoco debe limitarse su aprendizaje al conocimiento de técnicas y adquisición de destrezas para la realización de operaciones según modelos algorítmicos.
     Los conocimientos que deben trabajarse en esta etapa se situarán entre la práctica de los alumnos y la matemática formal. Se partirá de los esquemas empleados, de las ideas intuitivas, de las técnicas y estrategias personales para movilizar y enriquecer estos conocimientos, habilidades y destrezas, mediante un adecuado tratamiento escolar de las nociones y procedimientos formalizados.
     Poniendo en juego sus competencias cognitivas y aquellos conocimientos que su propia práctica y experiencia les va deparando, muchos de estos alumnos y alumnas utilizan estrategias y conocimientos matemáticos intuitivos para resolver problemas y situaciones de su interés.
     La aprobación y reconstrucción del conocimiento por los alumnos guarda estrecha relación con su interés y motivación. La enseñanza de las matemáticas debe preocuparse de desarrollar determinadas actitudes y hábitos de trabajo que les ayuden a ser capaces de apreciar el propósito de la actividad, tener confianza en su habilidad para abordarla satisfactoriamente, ser imaginativos, sistemáticos, persistentes, etc.
     Este conjunto de consideraciones aconsejan la formulación de un currículum que se sitúe dentro del marco de conocimientos considerados imprescindibles para satisfacer las necesidades matemáticas cotidianas (a nivel conceptual y procedimental) de un ciudadano adulto en la sociedad actual y futura.

Objetivos
     En la línea descrita en el Anexo de Aspectos Generales, los objetivos se entienden como las intenciones que sustentan el diseño y la realización de las actividades necesarias para la consecución de las grandes finalidades educativas. Se conciben así como elementos que guían los procesos de enseñanza-aprendizaje, ayudando a los profesores en la organización de su labor educativa.
     Los objetivos del Area de Matemáticas deben entenderse como aportaciones que se han de hacer a la consecución de los objetivos de la etapa. Es pertinente enunciarlos para reconocer las peculiaridades que este Area aporta a la formación.
     La enseñanza de las Matemáticas en la etapa de Educación Secundaria se orientará a facilitar los aprendizajes necesarios para desarrollar en los alumnos y alumnas las siguientes capacidades:
     1.- Utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir en diversas situaciones de "la realidad".
     Este objetivo subraya el carácter funcional que debe otorgarse al aprendizaje de este área en la etapa. Las matemáticas proporcionan formalización y rigor al conocimiento humano en general. Su estructura conceptual sirve para organizar de forma lógica datos relativos a procesos de la realidad vivida y para proponer modelos que permitan comprenderlos mejor. El conocimiento matemático resulta útil, por ejemplo, para cuantificar, codificar e interpretar con mayor rigor y precisión determinados aspectos de dicha realidad, para organizar mejor las relaciones espaciales, para interpretar lo diverso como susceptible de ser abordado desde puntos de vista contrapuestos o complementarios: determinista/aleatorio, finito/infinito, exacto/aproximado...
     El dominio de procedimientos básicos (como, por ejemplo, los relativos al cálculo, a la medida, a la utilización de técnicas sencillas de recogida de datos para obtener información y a las representaciones gráficas y numéricas de los mismos) resulta imprescindible para desenvolverse con autonomía en la sociedad actual y elaborar juicios adecuados ante fenómenos y situaciones diversas. Al facilitar el acceso reflexivo a estos procedimientos diversos, se ofrece a los alumnos elementos de juicio para decidir en cada caso sobre la pertinencia o ventaja de su uso y para someter el proceso y los resultados a una revisión sistemática.
     2.- Comprender e interpretar distintas formas de expresión matemática e incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentación habituales.
     Este objetivo pretende favorecer en los alumnos y las alumnas la apropiación progresiva de distintos códigos matemáticos de uso habitual en la sociedad actual: numérico, gráfico, geométrico, lógico, algebraico, estadístico y probabilístico.
     La utilización de formas de expresión matemática aporta concisión y claridad a la comunicación, favorece la selección y organización de los datos, la precisión y el rigor en la interpretación y, por lo tanto, contribuye a realizar una intervención más adecuada en diferentes situaciones.
     3.- Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiados.
     El conocimiento matemático es considerado en este objetivo como un poderoso instrumento para la identificación, formulación y resolución de problemas. En efecto, el uso de códigos matemáticos para analizar problemas de la realidad, facilita la selección de los datos, orienta sobre su búsqueda y ayuda a relacionar y organizar la información, a representarla de manera que resulte comprensible, a realizar inferencias y deducciones y a formular conjeturas. También el conocimiento de propiedades y relaciones geométricas ayuda a identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, propiciando la sensibilidad ante la belleza y la conservación del medio físico.
     Los problemas que pueden abordarse por distintas vías y que permiten varios niveles de solución, invitan a utilizar las formas de pensamiento lógico para formular y comprobar hipótesis y realizar inferencias, contribuyendo a que el alumno adquiera una visión de las matemáticas como ciencia asequible, abierta y útil.
     4.- Reflexionar sobre las propias estrategias utilizadas en las actividades matemáticas.
     Este objetivo hace referencia a la conveniencia de promover en los alumnos el análisis y la valoración de la actividad realizada y de las estrategias puestas en juego. Ello facilita la posibilidad de recorrer el camino que va desde la experiencia inductiva hacia la formalización deductiva.
     El análisis de la conveniencia y adecuación de las propias estrategias utilizadas a lo largo del proceso de aprendizaje permite, por otra parte, su modificación, reajuste y regulación progresivos mediante criterios  que se irán compartiendo a medida que se avance en la etapa. Esto ayudará a conseguir un margen de creciente autonomía en la intervención  en la sociedad en la que se vive.
     5.- Incorporación hábitos y actitudes propios de la actividad  matemática.
     La elaboración del conocimiento matemático se encuentra estrechamente relacionada con el desarrollo de actitudes y hábitos que favorezcan el proceso de formalización, el tanteo, la contrastación, etc. Pero ello será necesario favorecer, junto a actitudes como la búsqueda de precisión y rigor y el disfrute de los aspectos estéticos de la organización matemática, otras como la exploración sistemática de alternativas, la valoración de puntos de vista distintos, la flexibilidad para cambiar de enfoque, la tenacidad en la búsqueda de soluciones, etc.
     6.- Reconocer el papel de los recursos en el propio aprendizaje.
     La apropiación de conocimientos matemáticos pasará, a menudo, en esta etapa, por el uso de recursos que son habituales en la sociedad adulta: la prensa, la televisión, el vídeo y los ordenadores (por ejemplo) pertenecen al "paisaje" habitual de los ciudadanos.
     Si en los medios laborales o domésticos la calculadora aparece como una simple herramienta de cálculo (que a veces, pero no siempre, puede sustituir al "papel y lápiz" o al "cálculo mental"), en esta etapa debe considerarse también como un recurso a través del cual es posible enunciar problemas significativos para el aprendizaje.
     En general, los materiales, recursos y representaciones cuyo uso se proponga a los alumnos y alumnas de esta etapa, habrán de coadyuvar a la consecución de los anteriores objetivos.

Contenidos
     Al fijar los objetivos se ha comenzado a concretar el marco general de referencia, delimitando la intención de lo que debe enseñarse a través del área de Matemáticas en esta etapa educativa. Con el desarrollo del capítulo de contenidos se pretende completar lo referente al qué enseñar.
     Como se recoge en el Anexo de Aspectos Generales, se entiende por contenidos tanto los conceptuales como los procedimentales y actitudinales.
     Los contenidos del Area de Matemáticas se han seleccionado teniendo en cuenta el carácter formativo (por una parte, funcional y, por otra, estructurante del pensamiento y de la acción) atribuido al área, su contribución al desarrollo de las capacidades expresadas en los objetivos y las características propias de los alumnos de la Educación Secundaria Obligatoria.
     El aspecto funcional del conocimiento matemático se hace patente en una selección de contenidos y actitudes útiles, adecuados a la resolución de problemas, y cuyo tratamiento en el aula se realizará siempre partiendo de situaciones concretas. El aspecto estructurante se hace patente en una selección de conceptos y procedimientos relevantes para el desarrollo del pensamiento, para la organización de los conocimientos o para la planificación de la acción y cuyo tratamiento en el aula se realizará como reelaboración del aspecto funcional previamente  mencionado.
     Los contenidos se presentan organizados en cinco núcleos. En cada unos de  ellos se formulan de forma integrada los distintos tipos de contenido: procedimientos específicos, formas de expresión y representación peculiares, conceptos, hechos, hábitos y actitudes. También se indican situaciones o problemas de la vida diaria en los que aparecen los contenidos.
     El núcleo relativo a los números y medidas pretende familiarizar a los alumnos y alumnas en la cuantificación directa e indirecta de los procesos de medida y cálculo y en la proporcionalidad de magnitudes.
     El Algebra generaliza la aritmética, aportando nuevos conceptos y procedimientos y promoviendo nuevas actitudes relacionadas con el uso de un lenguaje claro y preciso.
     La estadística y el estudio del azar intentan iniciar en la compresión de aspectos aleatorios de la realidad y en las técnicas de organización y análisis de datos.
     El núcleo relativo a funciones y su representación gráfica familiarizará con el lenguaje de las gráficas y dotará de los conocimientos necesarios para estudiar los fenómenos de dependencia (en su mayor parte, deterministas).
     El estudio de la geometría ayudará a asimilar estructuras espaciales, a comprender relaciones entre elementos geométricos (en muy diversos aspectos) y a abordar (con variados planteamientos) problemas relativos al espacio físico o a su representación en el plano.
     Los siguientes núcleos de contenidos no han de ser traslados "mecánicamente" al aula. Los conceptos nunca aparecen solos y el carecer formativo de los conocimientos, obliga a poner en juego, de forma equilibrada, conceptos, relaciones entre conceptos, procedimientos y relaciones entre procedimientos. Por otro lado, las actitudes sirven de soporte al aprendizaje y al uso de los conocimientos matemáticos, pues permiten interesarse por la apropiación de los conocimientos y proseguir el aprendizaje. El proceso de enseñanza y aprendizaje ha de integrar (como simultáneos o complementarios) contenidos relativos a los distintos ámbitos del conocimiento matemático. A partir de unas mismas experiencias, situaciones problemáticas o actividades, se pueden elaborar de forma conjunta conocimientos relativos a magnitudes, aritméticos,geométricos, algebraicos, estadísticos o probabilísticos.
     Los tres grandes ámbitos de conocimientos (conceptual, procedimental y actitudinal) no están en correspondencia biunívoca y, no pueden restringirse, sólo, al marco de cada núcleo. Por una parte, las relaciones entre conceptos conectan y enriquecen a los propios núcleos; por otra, es preciso tener en cuenta los procedimientos y actitudes generales que van, en algunos casos, adquiriendo especificidad en los distintos núcleos y que han de impregnar toda la actividad matemática de los alumnos a lo largo de la etapa.
     Entre estos procedimientos generales cabe destacar los relacionados con: la lectura, comprensión, traslación e interpretación de la información que se maneja; la representación de estas informaciones en soportes adecuados; la comunicación y expresión en distintos códigos; la clasificación de las informaciones (ordenación, tabulación, relaciones); el razonamiento (inductivo, analógico, espacial, inferencial, ...); la investigación y la resolución de problemas; el control de los procesos que están ejecutando (detección y acotación de errores, revisión y comprobación del plan, análisis de  razonamientos utilizados).
     Entre estas actitudes generales cabe destacar: la curiosidad (búsqueda de los conocimientos estimando la complejidad de los mismos); la flexibilidadpara tratar las situaciones; el gusto por la certeza la autonomía de pensamiento para tomar situaciones; la confianza en las propias capacidades para afrontar problemas; el interés por el propio trabajo; la capacidad de disfrutar pensado; la solidaridad y cooperación con los demás.
     Estos procedimientos y actitudes impregnan los conceptos y procedimientos específicos de los distintos núcleos de conocimientos y por ello han de ser tenidos en cuenta en la formulación de objetivos de cada unidad  didáctica, en las estrategias metodológicas que se ponen en juego y en los procesos de evaluación.
1. Números y medidas.
     En la etapa educativa anterior, la educación Primaria, se ha iniciado a los alumnos en el conocimiento aritmético y en el conocimiento métrico. Deben poseer ya un cierto dominio de los códigos y formas de expresión habituales y de las operaciones básicas y los algoritmos más usuales. En esta etapa han de ampliar el repertorio de formas de expresión, de procedimientos y técnicas y profundizar en el dominio de los que ya  conocen.
     Así se consideran los siguientes:
     - Lectura, interpretación y utilización de números naturales, enteros, fraccionarios y decimales, expresados de forma acorde con el tipo de actividad que se esté realizando.
     En la vida cotidiana surge con frecuencia la necesidad de recurrir a procedimientos tales como el recuento, la medición (directa o indirecta) o la estimación (unida a destrezas de aproximación, redondeo, truncamiento y acotación de errores) que requieren la utilización de distintos tipos de números. Cualquiera que sea la representación,  surgirán cuestiones de notación (la habitual, por supuesto, pero también la de "como fija", la "científica", la "técnica", los tantos por ciento o por mil, las "marcas" de números negativos por su signo o por su posición en una tabla). Los alumnos tienen que apropiarse comprensivamente de estas formas de expresión, valorando su utilidad, hasta integrarlas en su discurso habitual y aprender a establecer las equivalencias oportunas entre todas ellas. También es conveniente  utilizar procedimientos de representación gráfica, tanto en una como en dos dimensiones, de relaciones numéricas.
     - Utilización de las operaciones con los diferentes tipos de números (algoritmos tradicionales de suma, resta, multiplicación y división, cálculo mental, cálculo con calculadora y cálculo aproximado) y sus propiedades básicas.
     Revisar el sentido de las operaciones que se pueden realizar con los distintos tipos de números y, estudiar sus propiedades, es útil no solo para conocer las propiedades que tienen, sino además para saber las propiedades que no poseen determinadas operaciones.
     El uso generalizado de la calculadora hace necesario que, en esta etapa, se insista en el dominio de su funcionamiento, en la observación crítica de los resultados que con ella se obtienen y, en la valoración de su utilidad como instrumento para realizar cálculos e investigaciones numéricas. Para esto es conveniente que los alumnos hagan previamente cálculos estimativos de la magnitud de los resultados y adecuen la precisión de los resultados estimados a la de los datos, con el fin de apreciar los posibles errores procedentes de una deficiente introducción de datos y de desarrollar una actitud crítica.
     - Mediciones, directas e indirectas, de distancias, áreas, volúmenes, ángulos (en grados sexagesimales), pesos (masas) y tiempos y manejo de cantidades monetarias.
     En cuanto al conocimiento métrico, se debe profundizar en la capacidad de estimar la medida de magnitudes y mejorar el dominio de los instrumentos de medida convencionales, adecuados a cada tipo de magnitud y situación, con el cuidado y precisión que cada situación problemática requiere.
     La tarea del alumno consiste, no sólo en realizar las operaciones necesarias para obtener una medida de estas magnitudes, sino fundamentalmente en decidir, dadas determinadas circunstancias de un problema, qué debe medir y cómo hacerlo para obtener los datos o la información que le permitan calcularlos. Estas actividades han de desarrollar una actitud favorable por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos.
     - Profundización en la proporcionalidad de magnitudes empleando distintos tipos de notación: decimal, fracción y porcentaje.
     De las relaciones entre las magnitudes hay que detenerse en la proporcionalidad, que aparece con frecuencia, bien como relación entre magnitudes verdaderamente proporcionales, bien como resultado de la simplificación de una relación no lineal mediante una relación lineal aproximante y, en los diversos procedimientos que permiten realizar cálculos de proporcionalidad, en situaciones de la vida ordinaria tales como el cálculo de descuentos o intereses, amortización de capital, distribución de beneficios y de aquellas otras que el resto de los núcleos permita abarcar.
     - Iniciación al estudio de las sucesiones y de las progresiones.
     En el último curso de la etapa, se abordará un estudio elemental de las sucesiones para analizar sus regularidades más características (de manera, fundamentalmente, cualitativa), para buscar patrones o  regularidades numéricas o para buscar leyes que generalicen relaciones. Las progresiones merecen una dedicación particular, dadas sus múltiples aplicaciones.
     La actividad matemática con los números y las medidas (y en general), ha de favorecer la confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, realizar cálculos y, propiciar una disposición favorable a revisar y optimar el resultado de cualquier proceso numérico.
2. Álgebra
     En la educación primaria, los alumnos y alumnas se han iniciado en el uso de procedimientos aritméticos, es decir, han aprendido a encontrar un resultado a partir de unos datos previos. Sin embargo, muchas situacionesrequieren la adquisición de nuevas técnicas de simbolización progresiva de enunciados verbales y de los correspondientes hábitos para interpretar posteriormente la solución en términos de lenguaje ordinario.
     - Simbolización de cantidades en contextos concretos y expresión de relaciones (propiedades, secuencias numéricas, leyes de recurrencia, etc.) mediante expresiones literales. Valoración numérica de fórmulas y expresiones literales. Compresión del concepto de variable y de ecuación.
     Hay que trabajar, en múltiples situaciones, el concepto de igualdad y el reconocimiento de sus propiedades más sencillas, de forma contextualizada, como la reversibilidad, la comparación y la equivalencia.
     No hay que obviar la dificultad de trabajar con expresiones literales para los alumnos de estas edades. El uso de letras como variables, para representar números, presenta una doble dificultad: la de interpretar la notación y la de entender las ideas y conceptos abstractos que le sirven de base.
     Por tanto, su introducción debe ser progresiva (a partir de expresiones aritméticas de fórmulas o relaciones ya descubiertas y trabajadas previamente, de situaciones geométricas, etc.), partiendo de las propias  capacidades para simbolizar que tengan los alumnos, trabajando con problemas contextualizados que provoquen la reflexión sobre la necesidad de operar con este tipo de expresiones y, que permitan construir una actitud positiva ante el lenguaje algebraico y su utilidad.
     - Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas y sistemas de dos ecuaciones mediante métodos diversos. Aplicación de métodos algebraicosen la resolución de problemas matemáticos y de la vida real.
     Es particularmente importante que los alumnos aprecien la diversidad de métodos de resolución de ecuaciones. Para ello conviene ponerlos en situación de resolverlas por métodos numéricos de aproximaciones sucesivas, de modo que adquieran el hábito de la exploración sistemática de soluciones y confianza en las propias habilidades para encontrar los resultados buscados. Esto no implica dejar de utilizar los métodos algebraicos en la resolución de problemas tanto matemáticos como de la vida cotidiana y comparar la eficacia de estos métodos con otros de carácter no algebraico.
     Dentro de la diversidad de situaciones que se resuelven con tratamiento algebraico, se destacará la importancia de aquellas cuya formulación implica la búsqueda de uno o dos datos en los casos lineales (ecuaciones lineales y sistemas de dos ecuaciones) y en los casos cuadráticos (ecuaciones de segundo grado), porque es factible obtener soluciones exactas mediante transformaciones algebraicas sencillas de las ecuaciones.
3. Funciones y su representación gráfica
     En la vida cotidiana los alumnos se encuentran continuamente con magnitudes relacionadas entre sí. Las situaciones en las que una causa tiene sobre su efecto una importancia preponderante en relación con las restantes causas concurrentes, se pueden describir, al menos de modo simplificado, mediante el concepto de función. En esta etapa educativa los alumnos deberán aproximarse a la noción de función de una variable, dejando para etapas posteriores el concepto abstracto de función y el estudio de funciones de más de una variable.
     - Lectura e interpretación de un fenómeno dado mediante su gráfica. Obtención de conclusiones cualitativas y cuantitativas sobre el fenómeno descrito. Los aspectos que se deben estudiar son: variables que se relacionan, escalas utilizadas en los ejes, valores de una variable respecto a otra, intervalos de validez, variaciones (crecimiento y decrecimiento) y extremos (máximos y mínimos) observables, continuidad intuitiva, discontinuidades y tendencias aparentes, en el fenómeno que se está describiendo.
     En la sociedad actual el lenguaje de las gráficas se utiliza cada día para la visualización de múltiples conjuntos de información y para la observación de sus características o comportamiento general, por su potencialidad descriptiva y su fácil compresión.
     Debe, pues, potenciar en los alumnos el interés por el uso de este tipo de lenguaje y facilitarles la compresión de los mecanismos que permiten expresar leyes, fórmulas o tablas mediante gráficas, utilizar con cierta precisión los términos y la notación adecuados y elegir convenientemente las escalas para interpretar y analizar críticamente un fenómeno a partir de su representación gráfica. Ello posibilitará que sean sensibles a la potencialidad comunicativa del lenguaje de las gráficas. En definitiva se trata de conseguir que los alumnos, ante la gráfica de una función de contexto real, la describan y analicen sin necesidad de recurrir a cálculos, que generen dificultades superfluas, ni a técnicas analíticas específicas, y también que utilicen estos métodos en la resolución de problemas.
     - Análisis de relaciones funcionales con objeto de explicar cómo el cambio de una cantidad influye en otra.
     Si se entiende la función no como una simple tabla de valores, sino como una descripción de un fenómeno, se estudiarán los conceptos de variación, extremos, intervalos de validez y continuidad (discontinuidad), periocidad, simetría y estabilidad asintótica, que marcan normalmente un cambio cualitativo en el fenómeno (como ocurre, por ejemplo, en los cambios de estado, las crisis, la devaluación, etc.), que ponen de manifiesto las características de conjunto del fenómeno, no observables fácilmente en la tabla de valores.
     - Representaciones gráficas de funciones a partir de un enunciado, de una tabla y de una expresión analítica.
     La representación de gráficas de funciones como modo peculiar de expresar relaciones, se presentará como un conocimiento susceptible de aplicación a distintos casos y situaciones. Los alumnos habrán de traducir enunciados matemáticos, no expresados analíticamente, a gráficas de funciones. Asimismo, se partirá de tablas de valores, estimando la posibilidad de unir los puntos para formas curvas, y de expresiones analíticas para recurrir, cuando se crea necesario, a laobtención de nuevos puntos y ampliar o mejorar las gráficas con objeto de obtener una información más precisa.
     - Estudio particular de algunas funciones: lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, exponenciales, periódicas y escalonadas.
     Es necesario abordar los tipos más frecuentes de funciones. Las funciones lineales aparecen, por ejemplo, en situaciones de proporcionalidad, de costos y de cantidades a precio fijo. Las cuadráticas, muchas veces resultan por acumulación de efectos lineales (así ocurre con el espacio recorrido por un cuerpo en caída libre). La función exponencial caracteriza muchos procesos de crecimiento proporcional (evolución de precios, demografía). La función logarítmica, como función inversa de la anterior, describe procesos de agotamiento o desintegración y es una herramienta para representar linealmente fenómenos exponenciales. (Sin embargo, el estudio de la gráfica logarítmica no implica que en esta etapa educativa deba abordarse el cálculo logarítmico.) La proporcionalidad inversa se emplea en la descripción de innumerables procesos físicos o geométricos en los que se da la constancia del producto de dos variables. El comportamiento recurrente de muchos fenómenos, tales como la temperatura o ciertos fenómenos eléctricos, da lugar a funciones periódicas. El estudio de muchas funciones se simplifica sustituyéndolas por otras afines a trozos. La necesidad de convertir en discretas imágenes continuas origina, en la práctica, la función escalonada, como por ejemplo el costo de una llamada telefónica.
     La simple correspondencia entre dos magnitudes no expresa por si misma el mecanismo de génesis de la función. Ello se verá más claramente en las progresiones, en las que el valor correspondiente a un elemento se genera a partir del precedente. El estudio de estos tipos de funciones de variable natural debe preceder al de las funciones afín y exponencial.
4. Geometría
     La comprensión de la organización espacial del mundo que vivimos requiere un aprendizaje que se puede sistematizar. El acercamiento a la Geometría se abordará a través de la observación del entorno, de construcciones de objetos de diversos tipos, de la manipulación de sus elementos y de la búsqueda de relaciones, que se tratarán de argumentar y verificar.
     La Geometría es una disciplina que necesita una reducida cantidad de requisitos previos y que resulta accesible a todos los alumnos. Aunque un problema geométrico no sea fácil, es posible trabajar en él e ir encontrando resultados parciales que nos permitan ir organizándolo. La Geometría proporciona una gran fuente de problemas en contexto, que propicia el trabajo de cada estudiante, de acuerdo con sus posibilidades.
     - Reconocimiento, descripción y representación de figuras, cuerpos y composiciones geométricas.
     No se trata de hacer un estudio exhaustivo de todos los elementos geométricos que han visto las alumnas y los alumnos en años anteriores. Se aspira a que, en las actividades geométricas que se les propongan, adquieran "soltura" y manejen comprensivamente aquellos elementos que vayan a utilizar, así como las relaciones básicas para describir y organizar el plano y el espacio. Todo ello utilizando terminologías y notaciones adecuadas a la situación en estudio o al procedimiento en uso.
     Este aprendizaje se debe abordar a través del proceso de descomposición de formas complejas en formas elementales, del análisis y la búsqueda de las propiedades de estas formas elementales y de la síntesis posterior, bien con la intención de reconstruir de forma operativa las formas complejas o de llegar al comprenderlas mejor, o bien la intención de diseñar y construir formas nuevas. Por ejemplo, el problema del recubrimiento de superficies planas o poliédricas dará lugar al estudio de las teselaciones, polígonos regulares y construir elementos de decoración (mosaicos, frisos, cenefas, rosetones) y de construcción (arcos, bóvedas, artesonados...)
     Con este tipo de actividad se puede fomentar en los alumnos una actitud de curiosidad y búsqueda de regularidades y relaciones entre los elementos que componen las figuras y, al mismo tiempo, desarrollar el sentido estético y el gusto por el orden y por la complejidad que puede obtenerse a partir de formas muy simples.
     - Construcciones en el plano y en el espacio de forma fundamentalmente manipulativa.
     La manipulación y construcción de figuras geométricas espaciales contribuirá a un conocimiento más elaborado sobre las mismas, pasando de las nociones fundamentales perceptivas a la conceptualización de las  formas y figuras mediante la detección de regularidades y la consideración de elementos y relaciones.
     Para la realización de estas actividades los alumnos seguirán diversos criterios: partir de las propiedades conocidas, seguir las nociones intuitivas que poseen, utilizar instrumentos de dibujo y medida, utilizar otros elementos como plantillas, espejos, globos terráqueos, etc. Superarán de esta forma los problemas de representación de las formas espaciales en el plano, debidos a la tridimensionalidad y se facilitará, para ellos, el modo de representación convencional.
     Este tipo de trabajo servirá también de ayuda para introducir a los alumnos en los conceptos de área y volumen, a la vez que fomenta perseverancia y flexibilidad en la búsqueda y mejora de soluciones a los problemas. La apreciación del número de elementos que pueden ser contenidos en una determinada figura o forma espacial, como por ejemplo, el número de losas o de bloques que caben en una determinada superficie o volumen, puede constituir una adecuada aproximación intuitiva a dichos conceptos y facilitar el posterior aprendizaje de las fórmulas matemáticas.
     - Interpretación, construcción y utilización de modelos geométricos, esquemas, mapas, planos... y deducción de datos o de información a partir de ellos.
     También se debe iniciar al alumno en la utilización de la representación espacial de figuras o formas geométricas, de uso habitual en la sociedad actual. Se trata de introducirlo paulatinamente en la interpretación de representaciones tales como croquis, planos de edificios, planos de ciudades, mapas... y en su construcción simplificada, ya sea de forma aproximada aunque expresiva, ya sea de forma más elaborada y objetiva. Para llegar a dominar este último tipo de representación, los alumnos y alumnas tienen que aprender a transformar las medidas de figura representativa y viceversa, es decir, tienen que llegar a conseguir el dominio de la escala.
     - Mediciones, directas o indirectas, de longitudes, ángulos, diedros, áreas y volúmenes.
     La tarea de los alumnos y las alumnas consiste, por un lado en el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes, etc., y, por otro, en decidir qué debe medir y cómo hacerlo para obtener los datos que permitan calcularlos, controlando la magnitud de los errores cometidos.
     La medida de áreas y volúmenes de las figuras simples se debe iniciar por medio de descomposiciones, desarrollos, etc. y sólo al iniciar por proceso es conveniente obtener las fórmulas correspondientes. El proceso de obtención de la medida es lo que dará significado a esas fórmulas.
     - Conocimiento y aplicación de algunas propiedades geométricas básicas: teorema de Pitágoras, configuraciones de Thales, semejanza de figuras y nociones básicas de trigonometría.
     La necesidad de estudiar los procedimientos de medidas indirectas de segmentos, de ángulos y de diedros en grados sexagesimales surge, principalmente, en dos situaciones: medidas de elementos no accesibles y medidas de figuras elementales que hay que utilizar para construir formas complejas de dimensiones dadas. En cualquiera de los dos casos, los alumnos y las alumnas deben utilizar, además del análisis según triángulos semejantes y el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas en los casos de triángulos rectángulos.
     El estudio de la semejanza se realizará en su doble vertiente de representación de figuras a escala, y de cálculo de medidas lineales de elementos de una figura a partir de otros.
     - Reconocimiento y representación de traslaciones, giros y reflexiones.
     La percepción y la representación mentales del movimiento no causal y su reproducción intencional y práctica a través de un proceso de análisis que reduce el movimiento a una composición de traslaciones, giros y reflexiones, constituye un aspecto primordial de la comprensión matemática o artística. Los alumnos y las alumnas han de llegar a conocer las peculiaridades de cada uno de estos movimientos simples, realizar composiciones con ellos y descomponer de modos diversos los movimientos dados.
     Muchas figuras, naturales o creadas por el hombre, presentan una simetría axial. Un buen contexto lo constituye el arte islámico andaluz medieval). Es conveniente desarrollar en los alumnos el gusto por la observación, descripción y construcción de figuras mediante elementos simples y pares de simetrías. Posteriormente, se estudiará cómo a partir de la simetría axial se obtienen las traslaciones y los giros. Este tipo de trabajo conducirá a la comprensión y valoración de las distintas posibilidades, distribución y complementariedad de formas, espacios y colores y redundará en un mayor aprecio por nuestro legado cultural.
     En nociones intuitivas complementarias de "forma" y "contorno" se adquieren observando lo que tienen en común figuras distintas que, aunque difieran en tamaño, pueden ofrecer un mismo aspecto al ser observadas desde lugares adecuados. Esto hace necesario el estudio de la semejanza como composición de homotecarias y movimientos.
     - Resolución de problemas usando modelos geométricos.
     Se trata de que los alumnos y las alumnas realicen indagaciones sobre problemas geométricos, elaboren hipótesis diferenciando los elementos conocidos de los que pretenden conocer y establezcan estrategias para su verificación.
     Con objeto de valorar los aspectos estéticos de las formas geométricas se considerarán las aplicaciones prácticas de la geometría, en diversos ámbitos de la realidad y de nuestro patrimonio cultural relacionados con el urbanismo, la arquitectura, el diseño y el arte contemporáneo.
5. Tratamiento de información estadística y del azar
     Los esquemas estadísticos y probabilísticos, como marco interpretativo de múltiples acontecimientos que caracterizan la percepción del mundo en nuestra cultura, constituye un complemento ineludible de los esquemas  deterministas hasta ahora imperantes en los modelos de enseñanza y aprendizaje de este área.
     El acercamiento a medios informáticos y de comunicación, es especialmente fructífero en este núcleo. Permite reflexionar y valorar la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en el tratamiento y representación de la información.
     - Acercamiento a los elementos básicos de la estadística descriptiva: encuestas y sondeos de opinión, necesidad del muestreo, recogida y organización de los datos (agrupamiento, elección de clases, tabulación y recuento, obtención de la tabla de frecuencias).
     El estudio de las modalidades que presentan una característica determinada conduce al análisis de distribuciones y, frecuentemente, a la estimación de distribuciones mediante el estudio de muestras. En este estudio están implicadas cuestiones que los alumnos han de recorrer y vivenciar si se pretende que puedan entender estadísticas de las que aparecen en los medios de comunicación. Algunas cuestiones a plantear son: la influencia de la redacción de las preguntas en los cuestionarios la representatividad de una muestra, el proceso de organización de datos y los cálculos derivados de la obtención de frecuencias absolutas, relativas y porcentajes.
     Es importante desarrollar desde el principio buenos hábitos y actitudes para planificar sistemáticamente la toma de datos, realizarla con S precisión y rigor, expresar los datos obtenidos de forma ordenada que facilite su compresión y tratamiento posterior, y a interpretarlos de forma ajustada. Con todo esto se contribuirá a desarrollar actitudes críticas frente a la interpretación de resultados procedentes de extrapolaciones que se realizan desde otros ámbitos.
     - Representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencia a través de polígonos de frecuencia, histogramas, diagramas de sectores, gráficos de barras, pictogramas...
     La representación de distribuciones forma parte de la presentación habitual de datos en los medios de información. Por tanto, los alumnos y las alumnas deberán saber interpretar adecuada y críticamente estas formas de representación, dentro del contexto que se está tratando, así como construirlas decidiendo qué representación gráfica es conveniente en cada caso.
     - Obtención de los parámetros de centralización y dispersión.
     Es necesario considerar los problemas que se plantean al elegir, como medida representativa de la muestra, una de las medidas de centralización, ya sea la media, mediana o la moda, analizando en cada caso cuál de ellas es la más oportuna. La valoración crítica del grado de representatividad del parámetro de centralización elegido, debe llevarse a cabo mediante la interpretación exploratoria de los datos y utilizando la información que proporcionan los parámetros de dispersión, es decir, el rango, la varianza y la desviación típica. Todo ello en el ámbito de la resolución de problemas, ya que permitirá conectar los aprendizajes que se están describiendo.
     - Resolución de problemas elementales de combinatoria utilizando los diagramas de árbol y algunas técnicas de recuentos directos y por recurrencia.
     Se estudiarán sólo los casos en los que el cardinal del espacio muestral sea "pequeño" o se utilizarán herramientas informáticas, de modo que no sea preciso un tratamiento general de las técnicas de conteo ni una simbolización excesiva. Por tanto, no es preciso formalizar la combinatoria.
     - Estimación y medición de la probabilidad de distintos tipos de sucesos mediante experimentación reiterada y, aplicando la Ley de Laplace, en los casos equiprobables. Resolución de problemas de probabilidad condicionada.
     A menudo se presentan situaciones en las que no es posible predecir el resultado, bien porque no se poseen sobre ellas datos suficientes, bien porque la ingente cantidad de variables que influyen en el fenómeno hace impracticable la predicción, o bien porque no se conoce el proceso. Para llevar a cabo el estudio de estos fenómenos es necesario el cálculo de probabilidades y, para desarrollar la capacidad de investigar este tipo de  fenómenos, debe los alumnos y las alumnas adquirir tanto una disposición favorable a investigar este tipo de fenómenos, como una buena práctica  en las técnicas que permitan abordar dicho estudio de un modo sistemático.
     Si se analizan distintas muestras, se observa que las frecuencias relativas de una determinada modalidad son valores relativamente próximos entre sí, dependiendo el grado de proximidad, fundamentalmente, de la raíz cuadrada de los tamaños de las muestras.
     Se debe experimentar con muestras de tamaño creciente, de modo que se  vaya tomando conciencia de la estabilización de las frecuencias relativas a medida que aumenta el número de pruebas. Este proceso conduce  a la percepción de que existe un número (la probabilidad) hacia el que tienden las frecuencias, pero también el hecho de que esta tendencia es muy lenta. En este sentido, el uso del ordenador es de gran ayuda, pues permite simular la realización de un gran número de pruebas en un tiempo razonable.
     Antes de realizar medidas o cálculos sobre la probabilidad es conveniente que los alumnos y las alumnas, lo mismo que con cualquier otro tipo de medidas o de cálculos, anticipen una apreciación del valor de la probabilidad.
     A partir de las probabilidades de los sucesos simples calculados por la regla de Laplace, por medio de frecuencias o por simple estimación, se calcularán las probabilidades de sucesos complejos analizándolos previamente y aplicándoles las reglas de probabilidad necesarias.
     Si se modifican las condiciones iniciales de un experimento aleatorio varían normalmente las probabilidades de los sucesos. Se estudiará esta dependencia aleatoria (o independencia, en su caso) y se desarrollará el concepto de probabilidad condicionada y, en contraposición, el concepto de sucesos independientes.
     Es necesario que las alumnas y los alumnos lleguen a comprender que la toma de decisiones en el estudio de los fenómenos aleatorios es algo que se puede sistematizar. En tal sentido, los juegos de azar son una fuente importante de situaciones para trabajar e incentivar, con actitud crítica, la toma de decisiones y el análisis de los errores más  frecuentes relacionados con ellas.
     En la toma de decisiones no debe influir de manera única la probabilidad de un suceso, sino que habrá de asociársele la ganancia o pérdida que supone la realización de tal suceso. Ello conduce a la necesidad del estudio de la esperanza matemática, de modo que el cálculo de la probabilidad adquiera todo su sentido.

Especificaciones para el cuarto curso
     La diversidad de intereses, motivaciones, actitudes y aptitudes de los alumnos en los últimos cursos de la Enseñanza Secundaria Obligatoria, exige que, al menos en este último curso, se propongan dos opciones cuyo tratamiento ha de ser distinto, tanto en los contenidos, como en la forma de abordar su estudio. Ello no afecta al resto de los elementos curriculares (objetivos, metodología y evaluación).
     Las siguientes orientaciones generales, intentan ilustrar la diferente intencionalidad de ambas opciones.
Opción A:
     En todos los bloques se pondrá el énfasis en los contenidos básicos enfocados al logro de tres metas:
     - Asegurar los aprendizajes matemáticos necesarios en su actual formación académica.
     - Desenvolverse con soltura en situaciones cotidianas.
     - Tener acceso a distintas ofertas profesionales en un futuro inmediato.
     Se centrará la atención en la resolución de situaciones problemáticas en una amplia gama de contextos, con un tratamiento donde prime la construcción intelectual de procedimientos frente a la formalización de contenidos matemáticos. La aplicabilidad, la diversidad de medios e instrumentos (tablas, gráficas, calculadoras, etc.) y el desarrollo de la capacidad de "aprender a aprender", serán los ejes fundamentales de esta opción.
Opción B:
     Se potenciará una mayor profundización en los conceptos y procedimientos matemáticos, mediante una utilización de distintos lenguajes simbólicos y de representación formales.
     En Números y Medidas, se profundizará el acercamiento a las sucesiones, en el sentido de intuir la existencia de patrones que, matemáticamente, son inacabables. No se hace mención explícita de ninguna idea de infinito (actual o potencial) o de límite.
     En Algebra, se profundizará en el tratamiento codificado de distintas situaciones y se abordará la resolución de inecuaciones de primer grado, sin necesidad de exponer una teoría sobre ellas.
     En Gráficas y Funciones, se profundizará en la noción de dependencia funcional, construyendo un concepto de función y se procurarán destrezas en el manejo de funciones dadas por expresiones elementales.
     En Geometría, se profundizará en el razonamiento proporcional, con ayuda de las homotecias y semejanzas. También se abordarán situaciones trigonométricas de mayor complejidad.
     En el Tratamiento de la información Estadística y del Azar, se intensificará el manejo de variables aleatorias ligadas a los juegos de azar.
     En resumen, las líneas fundamentales de esta opción B se orientarán hacia un mayor grado de rigor, de formalización, de abstracción y de precisión que en la Opción A. Se propondrán ejemplos sencillos de demostraciones o se potenciarán las que surjan espontáneamente de los alumnos y las alumnas.

Orientaciones metodológicas
     En el Anexo de Aspectos Generales se ha definido el marco en el que debe encuadrarse la enseñanza de cualquiera de las Areas de esta etapa educativa. Dentro de este marco conviene ofrecer una serie de pautas orientativas que guíen la actuación del profesor en los procesos de enseñanza y favorezcan, paralelamente, los procesos de aprendizaje de los alumnos.
     La construcción de los conocimientos matemáticos parte de la actividad, la representación y la reflexión sobre ella. Equilibrar estas perspectivas es una tarea de primer orden.
     La estructuración del conocimiento matemático es un proceso a largo plazo que necesita la "construcción" de instrumentos intelectuales cada vez más eficaces y sistemáticos para interpretar, representar, analizar, explicar y predecir hechos y fenómenos de distintas características, entre los que ocupan un lugar importante los referidos a la "realidad". Este proceso, la reflexión compartida acerca de las actividades realizadas por los alumnos y alumnas, ha de tener un lugar preponderante. El grupo permite la confrontación de puntos de vista y opiniones; ayuda a relativizar la propia perspectiva y conduce al logro de una objetividad creciente.
     Las alumnas y los alumnos poseen conocimientos de tipo matemático que se han ido configurando, a partir de la propia experiencia, en la Educación Primaria a nivel escolar y extraescolar. El Trabajo instructivo que los tiene en cuenta se enriquece con experiencias nuevas y ayuda a establecer relaciones sustantivas entre lo conocido y lo que se va a aprender.
     El profesor juega un papel crítico en la creación de un clima relacional en el aula que transforma un simple espacio físico en un espacio de trabajo compartido. El profesor debería tener en cuenta las informaciones que el grupo de alumnos le envía para favorecer los procesos de aprendizaje y graduar los distintos ritmos de trabajo.
     El marco en el que se sustenta este currículum permite distintos enfoques que son necesarios y convenientes para estructurar y secuenciar los conceptos, procedimientos y actitudes. También son necesarios para abarcar la enorme riqueza derivada de la diversidad de centros, de profesores y de alumnos, y para poder traducir situaciones genéricas a situaciones formativas para los alumnos. Por ello, con los siguientes criterios, se pretenden enunciar ciertas zonas de  encuentro y de equilibrio entre distintos enfoques metodológicos que permiten orientar el trabajo en el aula:
     - Interesar a los alumnos y alumnas en los objetos de estudio que se vayan a trabajar.
     Favorecer el interés de los alumnos es un aspecto tan necesario para el aprendizaje del área como complejo. La diversidad de situaciones y variables que inciden en cada aula, impiden articular soluciones óptimas de validez general. Algunas sugerencias que pueden resultar útiles son:
    - Procurar una variada gama de situaciones didácticas surgidas en diversos contextos. Un contexto puede ser una situación problemática de la vida real, la consecuencia de un trabajo comenzado, una propuesta de centro de interés hecha por los alumnos, una propuesta sugerida por el profesor (relacionada con otras situaciones), problemas de resolución no inmediata, textos de historia de las matemáticas que den una perspectiva cultural, etc.
     - Utilizar recursos diversos que permitan, a los alumnos y alumnas, la manipulación (a fin de comprender los conceptos, utilizarlos con un propósito práctico y recurrir a ellos) para verificar los resultados obtenidos y las conclusiones elaboradas.
     - Hacer evidente la funcionalidad de "esos" objetos de estudio para el aprendizaje, enunciando las metas y los conocimientos deseables; proporcionar a los alumnos y alumnas la oportunidad de poner en práctica en "situaciones nuevas" los conceptos, procedimientos y actitudes trabajados y aprendidos de manera que se ponga explícitamente de  manifiesto su utilidad.
     - Resaltar actitudes positivas que surjan entre los alumnos, para introducir un clima "adecuado" de trabajo que equilibre el esfuerzo individual y el colectivo.
     - Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación durante la clase, sin agobios de tiempo.
     Con este tipo de actividades los alumnos han de "operar", también, con opiniones, ponerse en el lugar de otros, refutar, argumentar en contra o aportar datos. Se construyen y refuerzan actitudes y valores propios de la "actividad matemática": mayor autonomía de pensamiento, más confianza en sus propias habilidades, gusto por la certeza, etc.
     - Tener en cuenta, en cada situación de aprendizaje, los conocimientos que los alumnos y alumnas ya poseen.
     La existencia de diferencias entre los alumnos, ya sea en conocimientos, ya sea en capacidades, aconseja orientar la acción docente en el sentido de proporcionar experiencias y actividades que permitan conocer la realidad inicial.
     Los alumnos disponen de una serie de conocimientos y actitudes que influyen en el aprendizaje matemático y que son punto de partida obligado para la reestructuración de sus conocimientos.
     En este sentido, deberían combinarse sugerencias como las siguientes:
     - Suscitar, ante cada nueva situación o tarea, la expresión de lo que los alumnos conocen sobre ella, aunque dicha expresión no se adecue, por tratarse de "ideas previas" o "intuiciones", a los modos de expresión corrientes entre matemáticos.
     - Desarrollar la convicción de que los errores son fuente de aprendizaje y una poderosa herramienta para analizar la naturaleza de los propios conocimientos y superar sus deficiencias.
     - Respetar distintas "lógicas" en la presentación de informes o en las discusiones matemáticas de los alumnos, dentro de un proceso de aproximaciones sucesivas al conocimiento.
     - Analizar el objeto de estudio, para programar la diversidad de actividades que materializan el proceso de enseñanza y para presentar los contenidos de forma integrada y recurrente.
     Afrontar este criterio tiene implicaciones a distintos niveles que no deben recorrerse de forma rígida y lineal. Algunas son:
     - Integrar los objetivos y contenidos en actuaciones concretas, estructuradas como unidades lectivas o unidades didácticas, que sirvan para el aprendizaje de los alumnos y alumnas.
     - Analizar los contenidos sobre los que va a trabajar para disponer de una visión global, que abarque la etapa, y de una visión referida a la unidad de trabajo.
     - Examinar las estructuras de los conceptos y procedimientos que van a ser estudiados relacionándolos entre sí y con otros conceptos y procedimientos. Esto permite establecer diversos itinerarios didácticos y estructurar, a menudo, la secuencia concreta de tareas que han de realizar los alumnos.
     - Valorar el soporte conceptual necesario para trabajar con cierta garantía de éxito sobre cada objeto de estudio (teniendo en cuenta el soporte conceptual que los alumnos y alumnas ya han puesto de manifiesto).
     - Explicitar grados intermedios de formalización y profundización entre los conocimientos de los alumnos y alumnas y las características del conocimiento matemático en cuestión.
     - Utilizar distintas estrategias didácticas.
     Resulta imprescindible buscar y encontrar un equilibrio entre distintos enfoques metodológicos, lo que requiere, por una parte, que las tareas matemáticas de los alumnos y alumnas surjan en contexto, que partan de una cierta "realidad" susceptible de ser matematizada (evitando, por tanto, la teoría por la teoría), y, por otra, que las vivencias matemáticas no sean reducidas a la pura experimentación y "tanteo".
     Este criterio está especialmente relacionado con todos los demás y, por tanto, su caracterización está explicitada horizontalmente en los otros criterios. De todas formas, algunas "herramientas" para el profesor son:
     - Analizar y estructurar la secuencia concreta de tareas que han de realizar los alumnos y alumnas.
     - Invitar, sistemáticamente, a los alumnos y alumnas a resumir y sintetizar la labor realizada.
     - Resumir y sistematizar la tarea realizada, integrándola con tareas y actividades anteriores.
     - Orientar y reconducir las cuestiones enunciadas por los alumnos y alumnas, de manera que se conviertan en cuestiones matemáticas pertinentes y a su alcance.
     - Facilitar los medios que permitan a los alumnos y alumnas contestar a las preguntas que se han formulado, suscitando estilos y climas de trabajoque faciliten la comunicación y la consecución de la tarea.
     - Comunicar el trabajo realizado, expresándolo en un lenguaje pertinente en el contexto de la situación y de la intención comunicativa.
     - Explicitar, con la mayor precisión posible, el proceso y los instrumentos de evaluación, indicando su ponderación relativa.
     - Evaluar la metodología a posteriori (tareas realizadas, objetivos perseguidos, los conocimientos utilizados, grado de "implicación" del grupo).
     Herramientas metodologías más globales, que, en relación con la lista precedente, contribuyen a la consecución de posibles organizaciones del trabajo, son las que se basan en la "resolución de problemas" y en los "trabajos de investigación". Permiten desde la adquisición de destrezas básicas, hasta el desarrollo de temas generales de investigación (al alcance de los alumnos y alumnas), así como el desarrollo de capacidades (enunciar y comprobar conjeturas, elaborar y utilizar estrategias para la resolución de una situación problemática, pensar en estrategias alternativas, utilizar instrumentos y técnicas diversas en un contexto de aprendizaje, reflexionar sobre el proceso  seguido y valorar los resultados, tomar decisiones, y entre otras, comunicar un trabajo referido a un proceso concreto sobre el que han podido trabajar otros alumnos).
     - Observar y coordinar el desarrollo de las tareas en el aula, procurando que cada alumno alcance su ritmo de trabajo óptimo.
     Asumir la diversidad de situaciones, de capacidades y de intereses que se dan en el aula, obliga a equilibrar de nuevo, el respeto del ritmo personal de trabajo de cada alumno y el reconocimiento de que no todos tienen por que llegar a los mismos niveles de conceptualización, con el necesario estímulo para que se alcance el nivel más adecuado de trabajo de los mismos.
     Los centros escolares deben favorecer la integración social. También deben ser lugares que propicien el desarrollo de la personalidad de cada cual y el respeto y la solidaridad con los demás. Esta doble meta exige la búsqueda de zonas de equilibrio.
     Algunas estrategias a las que puede recurrir el profesor son:
     - Ofrecer en cada caso el tiempo necesario para la construcción significativa de los conocimientos.
     - Alternar el trabajo individual con el de grupo y propiciar el intercambio fluido de papeles entre alumnos y alumnas como mecanismo corrector de posible prejuicios sexistas.
     - Diversificar el uso de códigos y modos de expresión con objeto de que los alumnos y alumnas establezcan relaciones pertinentes.
     - Individualizar, en la medida de las posibilidades, el seguimiento concreto del aprendizaje de cada alumno.
     - Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos.
     - Evaluar regularmente con los alumnos y alumnas el trabajo realizado.
     La consideración de la evaluación como criterio metodológico (y no solamente como tarea del profesor, en tanto que coordinador de la secuencia educativa), se fundamenta en que la participación en algún tipo de evaluación relacionada con el proceso de enseñanza-aprendizaje ayuda a involucrar a los alumnos y alumnas en la compresión de su propio proceso de aprendizaje. Al compartir algunos aspectos de esta tarea (metodología de trabajo, papeles asumidos por el profesor y los alumnos, rendimientos obtenidos, etc.) se promueve, casi siempre, el esfuerzo en los próximos aprendizajes y se facilita la gestión de las siguientes secuencias de actividades.
     - Tener en cuenta los condicionantes externos e internos.
     Deben considerarse los condicionantes que la práctica cotidiana introduce en la "realidad" de los centros de enseñanza. Algunos de ellos son:
     - El tiempo. Influye de dos maneras en el trabajo del aula. Globalmente, porque fija en cuatro cursos escolares el tiempo concedido para conseguir los aprendizajes deseados. Localmente, porque fija la duración habitual de las clases de matemáticas. Este último depende esencialmente del profesor, que puede dosificar y repartir los tiempos entre los distintos tipos de tareas que van a realizar los alumnos con él (intervenciones del profesor, trabajo personal, tareas de grupo, ...).
     - El espacio. La gestión del aula es un elemento importante en el aprendizaje. Además de los elementos objetivos (como son, por ejemplo, iluminación, espacio de trabajo, mobiliario de almacenamiento) influyen otros elementos, de carácter más subjetivo, como son: la disposición de las mesas de los alumnos según se trate de un trabajo individual o en grupo, la accesibilidad de los recursos necesarios, ...
     - Los materiales y recursos. Una gestión racional de su uso permitirá un aprovechamiento óptimo por los alumnos y las alumnas.

Criterios de evaluación
     En el Anexo de Aspectos Generales se han definido los objetivos y las características de la evaluación del proceso educativo, así como el conjunto de elementos que deben evaluarse. La contribución específica que desde este área puede hacerse a este proceso, se traduce en una mayor concreción de determinados aspectos de la evaluación del desarrollo de las capacidades de los alumnos. De ella pueden obtenerse informaciones para la evaluación del resto de los elementos que participan en el proceso educativo.
     En este apartado se establecen criterios que ayudan a valorar el desarrollo de las capacidades propuestas. La flexibilidad con que deben ser usados se comenta igualmente en el Anexo de Aspectos Generales.
     Estos criterios de evaluación emanan de la justificación que se han hecho del área y, por tanto, de la propuesta de objetivos realizada.
     El proceso de evaluación hace referencia al seguimiento y valoración de los aprendizajes de los alumnos y alumnas, que el profesor realiza de forma sistemática y continua.
     - Sobre la complejidad de los conceptos y procedimientos adquiridos.
     La actividad matemática que realiza el alumno le obliga a relacionar distintos aspectos del conocimiento matemático (notaciones, destrezas, conceptos, procedimientos, ...). La evolución de estos usos, expresiones o menciones indica mejora, estancamiento o dificultades en el aprendizaje de los alumnos y alumnas.
     Es necesario, sin embargo, asumir que hay contenidos de uso común que entrañan dificultades de compresión para los alumnos, por ejemplo: enteros negativos, algoritmos de la suma de fracciones, manipulación de desigualdades o manejo de variables. Su apropiación no es un proceso lineal y la propia historia de la constitución de los conocimientos  matemáticos muestra buenos ejemplos de ello.
     Con este criterio se pretende evaluar la capacidad del alumno para:
     - Expresar ideas y relaciones matemáticas utilizando terminologías, notaciones y estructuraciones adecuadas al nivel de aprendizaje donde se esté trabajando.
     - Elaborar y manejar representaciones (gráficos, modelos, diagramas, ...) para expresar conceptos, discriminando entre sus características más o menos relevantes, y, establecer relaciones entre los mismos.
     - Justificar los distintos pasos de un procedimiento, valorando la oportunidad de los mismos.
     - Sobre la capacidad de abstracción.
     La capacidad de abstracción e reconocerá, fundamentalmente, en los procesos de matematización de situaciones tomadas de la vida cotidiana, en la elaboración de estrategias para resolver problemas, en la optimización de los enfoques que permiten resolver situaciones planteadas y en la sistematización de las conclusiones del trabajo realizado.
     Por ejemplo, en el caos de un juego, unos alumnos orientarán en actividad a convertirse en "buenos jugadores", mientras que otros intentarán determinar estrategias ganadoras o relaciones prohibidas, lo que denota una mejor capacidad de abstracción actual desde el punto de vista de las matemáticas (sin que esto prejuzgue que los que empezaron intentando hacerse "jugadores expertos" no puedan llegar, posteriormente, a realizar tales abstracciones u otras más potentes.
     A menudo, conocimientos previos no adecuadamente contrastados influyen negativamente en la capacidad de abstracción. Esto ocurre, por ejemplo, cuando un alumno anuncia su expectativa de que al multiplicar dos números siempre debe salir algo mayor que esos números (eso ni siquiera es cierto entre naturales ya que 0x5=0; 1x5=5)... El mismo fenómeno ocurre con el razonamiento proporcional, cuando se aplica irreflexivamente. Una buena capacidad de abstracción incluye la actitud precautoria que lleva a reconocer las limitaciones de los conceptos y procedimientos que se están usando.
     Con este criterio se pretende evaluar la capacidad del alumno para:
     - Sistematizar y resumir conclusiones de un trabajo realizado e interpretar las ideas matemáticas presentes, en distintas formas de expresión.
     - Traducir los elementos de un problema de un modo de expresión a otro (por ej. De un enunciado a una gráfica) y, argumentar las estrategias más oportunas para su resolución.
     - Localizar un mismo concepto en distintos contextos, valorando su utilidad como modelo explicativo.
     - Sobre el dominio jerárquico de contenidos.
     Se trata de un aspecto paradójico en el proceso de construcción de los conocimientos por los alumnos. El dominio jerárquico de los contenidos se elabora, frecuentemente, a partir del rechazo de las posibilidades menos fecundas y potentes a largo plazo, pero éstas, a su vez, son más útiles en la resolución de problemas a corto plazo, ya que permiten conectar de forma significativa los conocimientos de los alumnos y alumnas con otras formas más elaboradas de los mismos.
     A la evolución de este aspecto contribuirá de manera decisiva un tratamiento metodológico que evite "imponer" los procedimientos cuya eficacia resulta evidente al profesor, en beneficio (provisional) de los procesos de resolución, actualmente empleados por los alumnos y, que estructure cuidadosamente los temas a tratar, de manera que los alumnos descubran como ciertos conceptos y destrezas resultan, a la larga, más rentables que otros.
     Así las medidas indirectas implican un dominio jerárquico de ciertos contenidos geométricos ya que basta, por ejemplo con conocer la medida (directa) de la longitud del lado de un triángulo equilátero para deducir la medida de resto de las magnitudes que puedan interesar de él.
     Con el criterio se pretende evaluar la capacidad del alumno para:
     - Conocer hechos específicos con la terminología adecuada y, relacionar conjuntos estructurados de hechos mediante conceptos.
     - Utilizar algoritmos (numéricos, geométricos, algebraicos, ...) para efectuar operaciones y, conocer sus limitaciones.
     - Organizar y analizar datos e informaciones y, reconocer y descubrir relaciones.
     - Sobre el uso de herramientas lógicas.
     Con la expresión "herramientas lógicas" no se hace referencia a conocimientos de Lógica, que no incluyen en este currículum, sino al uso correcto de algunas formas del razonamiento que son de uso común y elemental.
     Por ejemplo, "si se reconoce que un cuadrilátero tiene un ángulo que no es recto, se puede deducir que no es rectángulo" o "si se observa que, al cabo de 100 lanzamientos de un dado, ha salido el "6" 97 veces, se puede deducir, que el dado está trucado". En el primer caso la deducción es lógica, porque hace referencia a elementos característicos de la definición de un rectángulo; en el segundo caso, la deducción es "plausible", se ha experimentado el lanzamiento de dados, pero no hay ninguna razón matemáticas que la avale.
     En esta etapa las "herramientas lógicas" deberían permitir al alumno convencerse de algo, convencer a un compañero y, por último convencer a su profesor. Se excluye, por tanto, la exigencia de demostraciones impecables; si el profesor detecta su aparición espontánea en el discurso de algunos alumnos, podrá ser procedente o inadecuada, según los casos, su imposición al resto de la clase.
     El desarrollo de tales "herramientas" va unida al desarrollo de actitudes encaminadas a enunciar, del modo más preciso posible, las condiciones en las que se cumplen determinados resultados obtenidos; a conectar un nuevo resultado con otros anteriores, de manera que se mejore en lo posible la "red" de conocimientos matemáticos; a inducir resultados a partir de casos particulares; a seguir los pasos de una argumentación, comprendiendo su oportunidad y/o a detectar posibles errores en la misma.
     Con este criterio se pretende evaluar la capacidad del alumno para:
     - Reconocer patrones y proponer hipótesis explicativas (conjeturas).
     - Verificar conclusiones y realizar inferencias empleando distintas formas de razonamiento (inductivo, informal, proporcional, espacial, analógico, deductivo).
     - Enunciar argumentos para convencer a los demás, valorar y criticar los argumentos de otros y, elaborar contraejemplos.
     - Ejemplificar procedimientos y resultados generales.
     - Sobre el uso adecuado de notaciones y procedimientos.
     Algunas preguntas que el profesor tiene que hacerse al relacionar este apartado con el proceso de evaluación son: ¨Cuál es la mínima notación que conviene introducir?, ¨cuál es la máxima diversidad procedimental que cabe aceptar?, ¨se está dando el equilibrio adecuado entre, por una parte, el aprendizaje y, por otra, las expresiones formales o el progresivo rigor en la expresión de los razonamientos?
     Hay notaciones que favorecen el proceso de aprendizaje y hay notaciones que generan dificultades innecesarias. El profesor tiene que buscar un equilibrio en este aspecto para favorecer el aprendizaje significativo.
     En relación con los procedimientos de resolución, la situación se invierte. Si se trata, por ejemplo, de determinar la suma de los "n" primeros números impares, el recurso consistente en aplicar la fórmula de la suma de una progresión aritmética, es sólo una vía posible; puede admitirse también la vía geométrica o la construcción de una tabla que organice la información y sugiera una posible respuesta, etc. Todos estos algoritmos deben tener cabida y ser reconocidos como capaces de aportar la clave de la respuesta. La propia respuesta correcta no es sólo "n al cuadrado; son igualmente aceptables "el cuadrado de lado n" o "el cuadrado de la fila en que estoy".
     Con este criterio se pretende evaluar la capacidad del alumno para:
     - utilizar distintas notaciones, argumentando la conveniencia de cada una para describir y trabajar en una situación.
     - Comparar ideas matemáticas con la misma o distinta notación, valorando el papel del simbolismo.
     - Utilizar distintos procedimientos, argumentar la conveniencia de cada uno para operar en cada situación y, describir el procedimiento empleado en la resolución de un problema.
     - Efectuar ampliaciones, generalizaciones y optimizaciones de procedimientos para resolver problemas no rutinarios.