I. Introducción
A partir de la necesidad de contar y clasificar, y organizadas durante mucho tiempo como ciencia formal del espacio y de la cantidad, las Matemáticas constituyen hoy un conjunto amplio de modelos y procedimientos de análisis, de cálculo, medida y estimación, acerca de relaciones necesarias entre muy diferentes aspectos de la realidad, no sólo espaciales y cuantitativos. A semejanza de otras disciplinas, constituyen un campo en continua expansión y de
creciente complejidad, donde los constantes avances dejan anticuados las acotaciones y concepciones tradicionales. Los más recientes progresos, así como un mejor conocimiento de la naturaleza misma del conocimiento matemático,
tienen también consecuencias sobre la educación en Matemáticas, un área que, si bien ha estado presente tradicionalmente en la enseñanza académica, sin embargo, puede y merece ser enseñada con contenidos y mediante
procedimientos a menudo bien distintos de los tradicionales. La misma introducción y aplicación de nuevos medios tecnológicos en Matemáticas obliga a un planteamiento diferente tanto en los contenidos como en la forma de
enseñanza.
Las Matemáticas deben mucho de su prestigio académico y social al doble carácter que se les atribuye de ser una ciencia exacta y deductiva. La cualidad de la exactitud, sin embargo, representa sólo una cara de la moneda, la más
tradicional en las Matemáticas, que en la actualidad comprenden también ámbitos tales como la teoría de la probabilidad, la de la estimación o la de los conjuntos borrosos en los que la exactitud juega un papel diferente. De modo semejante, la tradicional idea de las Matemáticas como ciencia puramente deductiva, idea ciertamente válida para el conocimiento matemático en cuanto producto desarrollado y ya elaborado, ha de corregirse con la consideración del
proceso inductivo y de construcción a través del cual ha llegado a desarrollarse ese conocimiento. La especial trascendencia que para la educación matemática tiene el proceso, tanto histórico como personal, de construcción empírica e inductiva del conocimiento matemático, y no sólo formal o deductiva, invita a resaltar dicho proceso de construcción.
Conviene tener en cuenta por eso que en el desarrollo del aprendizaje matemático en la infancia y la adolescencia desempeña un papel de primer orden la experiencia y la inducción. A través de operaciones concretas como contar, comparar, clasificar, relacionar, el sujeto va adquiriendo representaciones lógicas, y matemáticas, que más tarde valdrán por sí mismas, de manera abstracta, y serán susceptibles de formalización en un sistema plenamente deductivo, independiente ya de la experiencia directa. Por otra parte, la perspectiva histórica pone de manifiesto que las Matemáticas han evolucionado en interdependencia con otros conocimientos y con la necesidad de resolver determinados problemas prácticos.
Es preciso, por tanto, que el currículo refleje el proceso constructivo del conocimiento matemático, tanto en su progreso histórico, como en su apropiación por el individuo. La formalización y estructuración del conocimiento como sistema deductivo no es el punto de partida, sino más bien un punto de llegada de un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para interpretar, representar, analizar, explicar y predecir determinados aspectos de la realidad.
La constante referencia a la realidad, a los aspectos de construcción inductiva y empírica, que se encierran en la actividad matemática no ha de hacer olvidar, por otro lado, los elementos por los que las Matemáticas precisamente se distancian de la realidad en actividades y operaciones que tienen que ver con la creatividad, la crítica, el poder de imaginar y representar no sólo espacios multidimensionales, sino, en general, una “realidad” alternativa. La exploración en la posibilidad pura y el desarrollo de modelos “puramente” matemáticos casi siempre contribuyen a describir, comprender y explicar mejor la complejidad del mundo.
La enseñanza de las Matemáticas ha estado a menudo muy determinada, no sólo por la estructura interna del conocimiento matemático, sino también por objetivos de desarrollo intelectual general, ya que las Matemáticas contribuyen al desarrollo de capacidades cognitivas abstractas y formales, de razonamiento, abstracción, deducción, reflexión y análisis. Ciertamente, las Matemáticas han de contribuir a lograr objetivos de etapa vinculados al desarrollo de capacidades cognitivas. Y éstos han de ser un referente de todo el proceso de enseñanza y aprendizaje, si bien el ámbito cognitivo no es el único. La participación del alumnado en el proceso de construcción del conocimiento matemático propicia también el desarrollo y afianzamiento de capacidades de tipo afectivo como son la autoestima y las relaciones interpersonales y de inserción social. Junto a este valor formativo de las Matemáticas hay que destacar también el valor funcional que poseen como conjunto de procedimientos para resolver problemas en muy diferentes campos, para poner de relieve aspectos y relaciones de la realidad no directamente observables, y para permitir anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados antes de que se produzcan o se observen empíricamente. Ambos aspectos, el funcional y el formativo, son indisociables y complementarios, no antagónicos.
Apenas hace falta resaltar, por otro lado, que en la sociedad actual es imprescindible manejar conceptos matemáticos relacionados con la vida diaria, en el ámbito del consumo, de la economía privada y en muchas situaciones de la
vida social. Por otra parte, a medida que los alumnos y las alumnas avanzan a través de los ciclos de la educación obligatoria, unas Matemáticas progresivamente más complejas son precisas para el conocimiento, tanto en las
ciencias de la naturaleza, como en las ciencias sociales. En relación con ello, y de acuerdo con la naturaleza de las Matemáticas en cuanto lenguaje con características propias, su aprendizaje ha de llevar a la capacidad de utilizar el
lenguaje matemático en la elaboración y comunicación de conocimientos.
Así pues, a lo largo de la educación obligatoria las Matemáticas han de desempeñar, indisociable y equilibradamente, un papel formativo básico de capacidades intelectuales y afectivas, un papel aplicado, funcional y un papel instrumental, en cuanto armazón formalizador de conocimientos en otras materias. Todo ello justifica, en una línea no siempre coincidente con la tradicional, los contenidos de las Matemáticas en esta etapa, así como las características didácticas básicas de su enseñanza.
De las consideraciones expuestas sobre el modo de construcción del conocimiento matemático, en la historia y en el aprendizaje de las personas, así como de las funciones educativas de este área en la educación obligatoria, se siguen los principios que presiden la selección y organización de sus contenidos. Son principios que no se aplican por igual al comienzo de la educación primaria y al final de la educación secundaria, pero que mantienen su vigencia a lo largo
de los años de la educación obligatoria.
1. Las Matemáticas han de ser presentadas a alumnos y alumnas como un conjunto de conocimientos y procedimientos que han evolucionado en el transcurso del tiempo, y que, con seguridad, continuarán evolucionando en el futuro. En esa presentación, han de quedar resaltados los aspectos inductivos y constructivos del conocimiento matemático, y no sólo los aspectos deductivos de la organización formalizada que le caracteriza como producto final. En el aprendizaje del alumnado hay que reforzar el uso del razonamiento empírico inductivo en paralelo con el uso del razonamiento deductivo y de la abstracción.
2. Es necesario relacionar los contenidos de aprendizaje de las Matemáticas con la experiencia de los alumnos y las alumnas, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de resolución de problemas y de contraste de puntos de vista en esta resolución. En relación con ello, hay que presentar las Matemáticas como un conocimiento que sirve para almacenar una información que de otro modo resultaría inasimilable, para proponer modelos que permiten comprender
procesos complejos del mundo natural y social, y para resolver problemas de muy distinta naturaleza. Todo ello es factible gracias a la posibilidad de abstracción, simbolización y formalización propia de las Matemáticas.
3. La enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas han de atender equilibradamente a sus distintas finalidades educativas:
a) Al establecimiento de destrezas cognitivas de carácter general, susceptibles de ser utilizadas en una amplia gama de casos particulares, y que contribuyen, por sí mismas, a la potenciación de las capacidades cognitivas del alumnado.
b) A su aplicación funcional, posibilitando que los alumnos y las alumnas valoren y apliquen sus conocimientos matemáticos fuera del ámbito escolar, en situaciones de la vida cotidiana.
c) A su valor instrumental, creciente a medida que el alumnado progresa hacia tramos superiores de la educación, y en la medida en que las Matemáticas proporcionan formalización al conocimiento humano riguroso, y en particular, al
conocimiento científico.
d) Al desarrollo de una valoración crítica acerca de la utilidad de las Matemáticas para representar, conocer, informar, predecir y resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.
En el transcurso de la Educación Secundaria Obligatoria, los alumnos y alumnas prosiguen un proceso de construcción del conocimiento matemático que se ha iniciado en la Educación Primaria. Se introducen nuevas relaciones, conceptos y procedimientos, ampliando el campo de reflexión matemática; se utilizan nuevos algoritmos, de creciente complejidad; se exploran nuevas aplicaciones. Todo ello mientras se enriquecen y profundizan las nociones y procedimientos introducidos en la etapa anterior. El desarrollo de la competencia cognitiva general del alumnado, en estas edades, y, en concreto, la posibilidad de llevar a cabo razonamientos de tipo formal abre nuevas posibilidades para avanzar en el
proceso de construcción del conocimiento matemático, asegurando mayores niveles de abstracción, simbolización y formalización.
Esas posibilidades aparecen en una doble línea. En primer lugar, la capacidad que en la adolescencia se tiene para abstraer relaciones y realizar inferencias, no sólo a partir de operaciones concretas con objetos físicos, como en la etapa educativa anterior, sino también a partir de operaciones sobre representaciones simbólicas referidas a dichos objetos, permite avances sustanciales en el conocimiento matemático. En segundo lugar, y en estrecha relación con lo
anterior, la capacidad de trascender las informaciones concretas sobre la realidad y los datos de la experiencia inmediata, dando entrada a las conjeturas e hipótesis como forma de pensamiento y de razonamiento, hace posible la
introducción del razonamiento hipotético deductivo y abre una vía de acceso a los componentes más formales del conocimiento matemático.
De todas formas, debe reconocerse que los contenidos más complejos, formales y deductivos de las Matemáticas siguen estando a menudo fuera de las posibilidades de comprensión de los alumnos y las alumnas, incluso al final de la
educación obligatoria. Debe resaltarse también que, en esta etapa educativa, mantienen su validez los principios generales de conceder prioridad al trabajo práctico e intuitivo, de potenciar el cálculo mental y la capacidad de estimación de resultados y magnitudes, de introducir las notaciones simbólicas y las formalizaciones a partir del interés por los conceptos y la necesidad de acudir a procedimientos matemáticos, de utilizar actividades de grupo que favorezcan la discusión, la confrontación y la reflexión sobre las experiencias Matemáticas, de prestar atención al desarrollo de estrategias personales de resolución de problemas, y de utilizar distintos ámbitos de actividad de los alumnos y alumnas, dentro y fuera de la escuela, como fuente de experiencias matemáticas.
Los contenidos de las Matemáticas en esta etapa de educación obligatoria han de estar regidos no sólo por su valor de preparación para conocimientos que hayan de adquirirse en posteriores tramos, no obligatorios, de la educación, sino
por el valor intrínseco de la formación aportada por las Matemáticas y de su necesidad para la vida adulta en la sociedad moderna. El objetivo de este área debe ser que los alumnos y las alumnas adquieran los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos y ciudadanas responsables en una sociedad que incorpora y requiere, cada vez más, conceptos y procedimientos matemáticos. El currículo ha de permanecer dentro del marco de conocimientos considerados imprescindibles para satisfacer las necesidades matemáticas habituales de personas adultas en la sociedad actual y futura. Es difícil, sin embargo, precisar cuáles son y, sobre todo, cuáles serán en el futuro tales
necesidades. La rapidez con que se producen los cambios tecnológicos y científicos, así como su imprevisibilidad, hace imposible tal predicción. Sólo puede predecirse con seguridad que serán unas necesidades cambiantes a lo largo de la vida de las personas. Igualmente, serán cambiantes las necesidades de formación matemática en la perspectiva de una preparación para estudios superiores. En consecuencia, en el currículo deben incluirse los contenidos más generales del conocimiento matemático, los que son transversales a sus distintos ámbitos e incluyen conceptos y procedimientos de carácter más común, a la vez que más funcional. Estos contenidos previsiblemente se adaptarán mejor a las cambiantes necesidades de la sociedad y al progreso en el propio conocimiento matemático.
De acuerdo con ello, y además de los contenidos relativos a conceptos, que abarcan hechos, conceptos y principios propios de la ciencia matemática, que deben formar parte del “saber” del alumnado en esta etapa educativa, en los
contenidos del currículo hay que otorgar un lugar prioritario a los procedimientos o modos de “saber hacer”, procedimientos por lo demás de naturaleza muy diversa y que se refieren principalmente a:
- Habilidades en la comprensión y en el uso de los diferentes lenguajes matemáticos, de la simbología y notación específica de cada uno de ellos, así como de la traducción de unos a otros (por ejemplo, entre representaciones
gráficas y expresiones algebraicas).
- Las rutinas y algoritmos particulares, caracterizadas por tener un propósito concreto y unas reglas de uso claras y bien secuenciadas.
- Los heurísticos o estrategias heurísticas, como las relativas a la estimación de cantidades y medidas, los procedimientos de simplificación y análisis de tareas, de búsqueda de regularidades y pautas, de expectativas de resultados, de comprobación y refutación de hipótesis.
- Las competencias relativas a la toma de decisiones sobre qué conceptos, algoritmos o heurísticos utilizar en una situación dada, en el planteamiento y solución de un problema y, en general, en el manejo conjunto y coordinado de las
habilidades relativas a los anteriores grupos de procedimientos.
Se considera, asimismo, un tercer tipo de contenidos relativos a actitudes, ya que, como se ha dicho, las Matemáticas constituyen un área particularmente propicia para su desarrollo. Actitudes relacionadas con los hábitos de trabajo, la
curiosidad y el interés por investigar y resolver problemas, con la creatividad en la formulación de conjeturas, con la flexibilidad para cambiar el propio punto de vista, con la autonomía intelectual para enfrentarse con situaciones desconocidas y con la confianza en la propia capacidad de aprender y de resolver problemas. Por otra parte, el desarrollo de todas estas actitudes no sólo contribuyen en sí mismo a las finalidades indicadas antes, sino que permiten que el resto de los aprendizajes, considerados a menudo más puramente matemáticos, sean funcionales y puedan aplicarse en una mayor variedad de situaciones. Ocurre lo mismo con las actitudes relativas a los propios contenidos matemáticos, que el alumnado ha de aprender a apreciar por su utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, por sus aplicaciones a otras ramas del conocimiento, y también por la belleza, potencia y simplicidad de sus lenguajes y métodos propios.
Sin gran esfuerzo suplementario, la enseñanza de las Matemáticas puede participar en el tratamiento de contenidos transversales del currículo escolar, como la educación vial, la educación para la paz, la educación ambiental, la
educación moral y cívica, la educación para el consumo, o la educación para la salud. Contenidos todos ellos que ofrecen aspectos cuantificables, o de interpretación de datos numéricos, y presentados en forma de tablas o gráficas, o
de organización de informaciones, previsión de hechos y elaboración de conclusiones, que también propician las actividades de reflexión en grupo del alumnado y que, por lo tanto, posibilitarán el desarrollo de actitudes que reflejan
los valores establecidos en las finalidades educativas.
La presentación de los contenidos se hace en cinco bloques que responden a la idea de reforzar determinados aspectos del tratamiento que debe darse a la educación matemática del alumnado en esta etapa educativa, en cada uno de los
campos referidos (números, medida, geometría, gráficas y azar). Sin embargo, esta presentación no supone una secuenciación de los contenidos para la etapa, aunque se aprecie en ella la necesaria coherencia epistemológica. Todo lo contrario, en su intervención en el proceso de enseñanza, el profesorado deberá relacionar contenidos de los distintos bloques, siempre que sea posible, para garantizar que el alumnado pueda establecer conexiones entre contenidos que
de otro modo, sin intervención externa, pudiera no conseguir por sí mismo.
La evaluación es el elemento del currículo que proporciona información sobre la marcha del proceso educativo para poder tomar decisiones adecuadas con el fin de mejorarlo. Así pues, se ha de considerar la evaluación como un proceso inherente al de enseñanza-aprendizaje y no como una actividad puntual a realizar en momentos aislados. Son varios los aspectos a evaluar de la educación matemática: el aprendizaje de los alumnos y las alumnas, la adecuación de los programas, la intervención del profesorado, la organización del centro, etc. Evidentemente, uno de los aspectos que más información aporta sobre el proceso de enseñanza es el resultado del aprendizaje del alumnado, siempre que se le dé el uso adecuado y no se utilice únicamente para calificar.
Como se ha puesto ya de manifiesto, los objetivos del área constituyen el referente de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje, y por estar referidos a capacidades no son ni directa ni unívocamente evaluables, sino a través del aprendizaje de los contenidos. Sin embargo serán el punto de referencia obligado para establecer los criterios de evaluación. Tales criterios deben contribuir a poner de manifiesto la competencia matemática del alumnado en todos aquellos aspectos que puedan propiciar el desarrollo de las capacidades indicadas en los objetivos. Los aspectos de la competencia matemática del alumnado pueden agruparse en torno a su:
- Habilidad para aplicar los conocimientos a la resolución de problemas matemáticos y en otros contextos de la vida cotidiana.
- Habilidad para usar el lenguaje matemático en la comunicación de ideas.
- Habilidad para razonar y analizar informaciones matemáticas.
- Conocimiento y entendimiento de conceptos y procedimientos matemáticos.
- Disposición hacia las Matemáticas y sus hábitos de trabajo individual o en cooperación.
Como indicadores de la habilidad del alumnado para utilizar las Matemáticas en la resolución de problemas, pueden servir los siguientes:
- Formular problemas.
- Aplicar diferentes estrategias en la resolución de problemas.
- Verificar e interpretar resultados.
- Generalizar soluciones.
Como indicadores de la habilidad del alumnado para utilizar el lenguaje matemático en la comunicación de ideas, pueden ser útiles:
- Expresar ideas matemáticas verbalmente y por escrito.
- Comprender e interpretar las ideas matemáticas que se presentan de forma oral, escrita o gráfica.
- Usar la notación y el vocabulario matemático para estructurar y representar ideas, describir situaciones y modelos.
Indicadores de la habilidad del alumnado para razonar, pueden ser:
- Analizar situaciones para determinar propiedades y estructuras comunes.
- Usar el razonamiento deductivo para verificar conclusiones y construir argumentos válidos.
- Usar el razonamiento inductivo para hacer, reconocer o refutar conjeturas.
Como indicadores del conocimiento y entendimiento de conceptos matemáticos pueden utilizarse los siguientes:
- Clasificar, verbalizar y definir conceptos.
- Identificar y generar ejemplos y contraejemplos.
- Usar modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos.
- Reconocer los distintos significados y representaciones de conceptos.
- Identificar propiedades de conceptos dados y reconocer condiciones que determinan un concepto particular.
- Comparar y contrastar conceptos.
Indicadores del conocimiento y entendimiento de procedimientos matemáticos pueden ser:
- Reconocer cuándo un procedimiento es el apropiado.
- Razonar los pasos de un procedimiento.
- Ejecutar procedimientos de forma segura y eficiente.
- Verificar los resultados de los procedimientos de forma empírica y analítica.
- Reconocer si un procedimiento es correcto o incorrecto.
- Crear o generar nuevos procedimientos y ampliar o modificar otros ya conocidos.
Indicadores de las actitudes del alumnado en el trabajo individual y cooperativo y en su apreciación de las Matemáticas pueden ser los siguientes:
- Confianza en el uso de las Matemáticas para resolver problemas, comunicar ideas y razonar.
- Flexibilidad y tolerancia en la exploración de ideas matemáticas y probar métodos alternativos en la resolución de problemas.
- Predisposición a perseverar en la búsqueda de soluciones o conclusiones.
- Interés, curiosidad y creatividad en los trabajos matemáticos.
- Apreciación de las aplicaciones de las Matemáticas en otras áreas y en experiencias de la vida cotidiana.
El área de Matemáticas se configura en el cuarto curso de la etapa en dos opciones diferentes. El carácter orientador que ha de tener la Educación Secundaria Obligatoria, y principalmente el segundo ciclo, supone la necesidad de facilitar que, en el último curso, los alumnos y las alumnas puedan percibir cómo son las Matemáticas que, en su caso, van a encontrarse posteriormente, y en qué medida son útiles para enfrentarse a distintas situaciones y resolver problemas relativos tanto a la actividad cotidiana como a los distintos ámbitos de conocimiento. Además, y en relación con esto, la diferencia de intereses, ritmos de aprendizaje, etc., se hace especialmente marcada al final de esta etapa. Todo ello aconseja el establecimiento, en el último curso, de la posibilidad de optar entre dos matemáticas diferentes, como mecanismo que permita atender simultáneamente estas necesidades de orientación y atención a la diversidad del
alumnado.
Esta opción hace posible, por otra parte, que sin perder la orientación señalada antes en cuanto al valor formativo del aprendizaje de las Matemáticas y en cuanto a las necesidades futuras del ciudadano y ciudadana adultos, pueda a la vez
garantizarse su papel instrumental. Muchos de los aprendizajes precisos, dentro y fuera de las propias Matemáticas, tanto en estudios de carácter más académico como en opciones de tipo profesional, requieren una preparación
previa y en cierta medida diferente en cada caso.
La necesidad de compaginar todos estos aspectos, lleva a una configuración de cada una de estas opciones en base al diferente acento que se ha de poner en algunos de los rasgos del área que se han perfilado en esta introducción. Estas
diferencias se traducen no sólo en la selección de contenidos, sino también, y en buena medida, en la forma en que habrán de ser tratados.

II. Objectivos del área
La enseñanza de las Matemáticas en la Educación Secundaria Obligatoria tendrá como objetivo contribuir a desarrollar en los alumnos y alumnas, las capacidades siguientes:
1. Incorporar al lenguaje y modos de argumentación habituales las distintas formas de expresión matemática (numérica, gráfica, geométrica, lógica, algebraica, probabilística), con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa.
2. Utilizar las formas de pensamiento lógico para formular y comprobar conjeturas, realizar inferencias y deducciones, y organizar y relacionar informaciones diversas relativas a la vida cotidiana y a la resolución de problemas.
3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor, utilizando técnicas de recogida de datos, procedimientos de medida, distintas clases de números y mediante la realización de los cálculos apropiados a cada situación.
4. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos, y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados.
5. Utilizar técnicas sencillas de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones diversas, y para representar esa información de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma.
6. Reconocer la realidad como diversa y susceptible de ser explicada desde puntos de vista contrapuestos y complementarios: determinista/aleatorio, finito/infinito, exacto/aproximado, etc.
7. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que generan.
8. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, gráficos, planos, cálculos, etc.) presentes en las noticias, opiniones, publicidad, ..., analizando críticamente las funciones que desempeñan y sus aportaciones para una mejor
comprensión de los mensajes.
9. Actuar, en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas, de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para
modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
10. Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar las situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar con los aspectos creativos, manipulativos, estéticos o utilitarios de las Matemáticas.

III. Contenidos
Los cinco bloques en que se presentan los contenidos del área son los siguientes:
1. Números y operaciones: significados, estrategias y simbolización.
2. Medida, estimación y cálculo de magnitudes.
3. Representación y organización en el espacio.
4. Interpretación, representación y tratamiento de la información.
5. Tratamiento del azar.
        Bloque 1. Números y operaciones: significados, estrategias y simbolización
Conceptos
1. Números naturales, enteros, decimales y fraccionarios:
- Significados y usos de los diferentes tipos de números: contar, medir, ordenar, codificar, expresar cantidades, particiones o relaciones entre magnitudes.
- Números fraccionarios: identificación entre decimales sencillos, fracciones y porcentajes.
2. Notaciones numéricas:
- Sistema de Numeración Decimal.
- Notación científica.
- Jerarquía de las operaciones. Paréntesis.
3. Las operaciones:
- Significados y usos de la suma, resta, multiplicación y división en distintos contextos y con distintas clases de números.
- Significado y uso de las potencias de exponente entero y de la raíz cuadrada.
4. Relaciones entre los números:
- Orden y representación de los números en la recta.
- Relación múltiplo-divisor.
5. Magnitudes proporcionales:
- Significado de la proporcionalidad de magnitudes.
- Expresiones usuales de la proporcionalidad: los “tantos por algo”, tasas y factores de proporción y conversión.
6. Aproximación y estimación de cantidades:
- Aproximación de un número por otro más sencillo: diversos métodos.
- Margen de error en las estimaciones y aproximaciones.
7. Algoritmos básicos e instrumentos de cálculo:
- Algoritmos para operar con números enteros, decimales y fraccionarios sencillos y para el cálculo con porcentajes.
- Significado y uso de las propiedades de las operaciones para la elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito.
- Reglas de uso de la calculadora.
- Otros instrumentos de cálculo disponibles.
8. El lenguaje algebraico:
- Significado y uso de las letras para representar números (un número desconocido fijo, un número cualquiera, una relación entre conjuntos de números, ...). Fórmulas y ecuaciones.
- Reglas para desarrollar y simplificar expresiones literales sencillas.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1. Utilización e interpretación de los números, las operaciones y el lenguaje algebraico en diferentes contextos, eligiendo la notación más adecuada para cada caso.
2. Elaboración e interpretación de códigos y tablas, numéricos y alfanuméricos, para gestionar o transmitir informaciones.
3. Representación, sobre una recta o mediante diagramas y figuras, de números enteros, fraccionarios y decimales sencillos, y de problemas numéricos.
4. Formulación verbal de problemas numéricos y algebraicos, de los términos en que se plantean y del proceso y cálculos utilizados para resolverlos, confrontándolos con otros posibles.
Algoritmos y destrezas.
5. Comparación de números mediante la ordenación, la representación gráfica y el cálculo de porcentajes.
6. Clasificación de conjuntos de números y construcción de series numéricas de acuerdo con una regla dada.
7. Sustitución de un número por otro más sencillo, de acuerdo con la precisión que requiera su uso.
8. Elaboración y utilización de estrategias personales de cálculo mental.
9. Utilización de los algoritmos tradicionales de suma, resta, multiplicación y división con números enteros, decimales y fracciones sencillas.
10. Utilización de diferentes procedimientos (paso de decimal a fracción o viceversa, expresión de los datos en otras unidades más adecuadas, ...) para efectuar cálculos de manera más sencilla.
11. Utilización de diferentes procedimientos (factor de conversión, regla de tres, tantos por algo, manejo de tablas y gráficos, ...) para efectuar cálculos de proporcionalidad.
12. Utilización de la calculadora u otros instrumentos para la realización de cálculos numéricos, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos y de la exigencia de exactitud en los resultados.
13. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos escritos y en la simplificación de expresiones algebraicas sencillas.
14. Resolución de ecuaciones de primer grado por transformación algebraica y de otras ecuaciones por métodos numéricos y gráficos.
15. Resolución algebraica de ecuaciones de segundo grado y de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (sólo opción B de cuarto curso).
Estrategias generales.
16. Utilización de diversas estrategias para contar o estimar cantidades, teniendo en cuenta la precisión requerida.
17. Búsqueda y expresión de propiedades, relaciones y regularidades en conjuntos de números.
18. Identificación de problemas numéricos diferenciando los elementos conocidos de los que se pretende conocer y los relevantes de los irrelevantes.
19. Identificación en la vida cotidiana del uso de la proporcionalidad entre diferentes tipos de magnitudes y de la terminología específica de algunas de ellas (intereses, mezclas, tasas, índices, “ratios”, etc.).
20. Reducción de problemas numéricos complejos a otros más sencillos (sustitución de los datos por otros más simples, paso de una situación con muchos elementos a otra con menos, del caso particular a uno general, del caso general
a uno particular, etc.) para facilitar su comprensión y resolución.
21. Decisión sobre qué operaciones son adecuadas en la resolución de problemas numéricos.
22. Formulación de conjeturas sobre situaciones y problemas numéricos, y comprobación de las mismas mediante el uso de ejemplos y contraejemplos, el método de ensayo y error, etc.
23. Utilización del método de análisis-síntesis para resolver problemas numéricos.
Actitudes
1. Valoración crítica de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico y del álgebra para representar, informar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.
2. Incorporación del lenguaje numérico, del cálculo y de la estimación de cantidades a la forma de proceder habitual.
3. Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora y otros instrumentos para la realización de cálculos e investigaciones numéricas.
4. Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas numéricos e investigar las regularidades y relaciones que aparecen en conjuntos de números o códigos numéricos.
5. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones.
6. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemasnuméricos.
7. Disposición favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier conteo, cálculo o problema numérico.
8. Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos distintas de las propias.
9. Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en problemas y cálculos.
        Bloque 2. Medida, estimación y cálculo de magnitudes
Conceptos
1. Medición de magnitudes:
- La medida como información cuantitativa de tamaños y duraciones.
- Unidades de medida.
2. Sistemas de medida:
- Ampliación del Sistema Métrico Decimal. Múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales para longitudes, áreas, volúmenes y masas.
- Unidades de medida de uso común en la zona.
- Unidades astronómicas.
3. La medida del tiempo:
- Relación de las unidades de tiempo con fenómenos astronómicos en nuestro sistema de calendario y en los de otras culturas.
- Expresión de medidas temporales: formas compleja y decimal.
- Operaciones con unidades de tiempo.
4. La medida de ángulos:
- Medida de ángulos planos y diedros.
- Sistema sexagesimal de medida de ángulos.
5. Medidas aproximadas:
- Estimación de medidas.
- Margen de error en la estimación y aproximación de medidas.
6. Mediciones indirectas:
- Relación entre las medidas lineales y las de área o volumen en un cuerpo.
- Fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.
- Teorema de Pitágoras.
7. Instrumentos de medida:
- Instrumentos de medida más frecuentes.
- Instrumentos de medida tradicionales en la zona.
- Precisión de los instrumentos de medida.
8. Razones trigonométricas (sólo opción B de cuarto curso):
- Seno, coseno y tangente.
- Principales relaciones entre las razones trigonométricas.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1. Utilización del vocabulario adecuado para interpretar y transmitir informaciones sobre el tamaño de los objetos.
2. Expresión de las medidas efectuadas en las unidades y con la precisión adecuada a la situación y al instrumento utilizado.
3. Utilización de representaciones a escala para medir magnitudes reales.
Algoritmos y destrezas.
4. Utilización de las fórmulas de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos para medir magnitudes.
5. Utilización diestra de los instrumentos de medida habituales.
6. Medida del área o volumen de cuerpos y figuras utilizando distintas técnicas tales como la descomposición en otros más simples o el peso.
7. Acotación de los errores cometidos al estimar, medir o aproximar una magnitud.
8. Utilización de las razones trigonométricas para la medida indirecta de longitudes y ángulos (sólo opción B de cuarto curso).
Estrategias generales.
9. Estimación de la medida de objetos, tiempos y distancias.
10. Planificación individual y en equipos de trabajo de tareas de medición previendo los recursos necesarios, el grado de precisión exigido, la secuenciación de las operaciones de medida, el procesamiento de los datos y la puesta en común.
Actitudes
1. Valoración crítica de las informaciones sobre la medida de las cosas y de la utilidad de la medida para transmitir informaciones precisas relativas al entorno.
2. Reconocimiento y valoración de la medida como elemento de relación entre diferentes lenguajes, conceptos y métodos matemáticos.
3. Incorporación al lenguaje cotidiano de los términos de medida para describir objetos, espacios y duraciones.
4. Disposición favorable a realizar, estimar o calcular medidas de objetos, espacios y tiempos cuando la situación lo aconseje.
5. Revisión sistemática del resultado de las medidas directas o indirectas, aceptándolas o rechazándolas según se adecuen o no a los valores esperados.
6. Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidades de medida utilizadas.
7. Cuidado y precisión en el uso de los diferentes instrumentos de medida y en la realización de mediciones.
8. Respeto y tolerancia por las propuestas en la planificación de tareas de medición distintas a las propias y cooperación para conseguir acuerdos y tomar decisiones que beneficien el trabajo en equipo.
        Bloque 3. Representación y organización en el espacio
Conceptos
1. Los elementos geométricos en el plano y en el espacio:
- Elementos básicos para la descripción y organización del espacio: puntos, rectas y planos.
- Relaciones básicas para la descripción y organización del espacio: paralelismo, perpendicularidad e incidencia.
2. Sistemas de referencia:
- Coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio.
- Coordenadas en la superficie esférica: longitud y latitud.
3. Figuras y cuerpos:
- Clasificación de figuras y cuerpos atendiendo a diversos criterios.
- Elementos característicos de poliedros y cuerpos redondos.
- Elementos característicos de polígonos y cónicas.
- Relaciones de inscripción, descomposición e intersección entre figuras y cuerpos.
- Regularidades y simetrías en figuras, cuerpos y configuraciones geométricas.
- Utilidad e importancia de algunas figuras y cuerpos para propósitos concretos: teselar, rodar, minimizar área o perímetro, etc.
4. Figuras semejantes. La representación a escala:
- Representaciones manejables de la realidad: planos, mapas y maquetas.
- Características de dos formas iguales: igualdad de ángulos y proporcionalidad de longitudes.
- El Teorema de Tales.
- Relación entre el área y el volumen de figuras semejantes.
5. Transformaciones isométricas:
- Traslaciones, giros y simetrías.
- Propiedades que se conservan con las transformaciones.
- Composición de transformaciones en casos sencillos.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1. Utilización de la terminología y notación adecuadas para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y configuraciones geométricas.
2. Descripción verbal de problemas geométricos y del proceso seguido en su resolución, confrontándolo con otros posibles.
Algoritmos y destrezas.
3. Utilización de los sistemas de referencia para situar y localizar objetos.
4. Utilización diestra de los instrumentos de dibujo habituales.
5. Construcción de modelos geométricos, esquemas, planos y maquetas de figuras planas y espaciales, utilizando la escala, los instrumentos, los materiales y las técnicas adecuadas a cada caso.
6. Representación plana de cuerpos geométricos sencillos conservando una cierta sensación de perspectiva.
7. Identificación de la semejanza entre figuras y cuerpos geométricos, y obtención del factor de escala.
8. Utilización del Teorema de Tales para obtener o comprobar relaciones métricas entre figuras.
Estrategias generales.
9. Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geométricas, por medio de distintos métodos inductivos y deductivos.
10. Identificación de problemas geométricos diferenciando los elementos conocidos de los que se pretende conocer y los relevantes de los irrelevantes.
11. Utilización de la composición, descomposición, intersección, movimiento, deformación y desarrollo de figuras, cuerpos y configuraciones geométricas para analizarlos u obtener otros.
12. Elección de la forma o configuraciones geométricas que se ajustan mejor a unas condiciones dadas.
13. Reducción de problemas geométricos complejos a otros más sencillos (pasando del espacio al plano, de una figura complicada a otra más simple, de una configuración con muchos elementos a otra con menos elementos, del caso
particular a uno general, del caso general a uno particular, etc.) para facilitar su comprensión y resolución.
14. Formulación y comprobación de conjeturas acerca de propiedades geométricas en cuerpos y figuras y de la solución de problemas geométricos en general, en especial el método “suponer el problema resuelto” para abordar
problemas geométricos.
Actitudes
1. Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la geometría para conocer y resolver diferentes situaciones relativas al entorno físico y transmitir mensajes de diferente naturaleza.
2. Reconocimiento y valoración de las relaciones entre diferentes conceptos, como la forma y el tamaño de los objetos, y entre los métodos y lenguajes matemáticos que permiten tratarlos.
3. Sensibilidad ante las cualidades estéticas de las configuraciones geométricas, reconociendo su presencia en la naturaleza, en el arte y en la técnica.
4. Interés y gusto por la descripción verbal precisa de formas y características geométricas.
5. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.
6. Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y resolver problemas geométricos.
7. Perseverancia y flexibilidad para admitir distintos puntos de vista en la búsqueda y mejora de soluciones a problemas geométricos.
8. Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas geométricos distintas de las propias.
9. Cooperación y tolerancia en la búsqueda de acuerdos y toma de decisiones razonadas para resolver problemas geométricos en equipos de trabajo.
10. Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos.
      Bloque 4. Interpretación, representación y tratamiento de la información 
Conceptos
A. Información sobre fenómenos causales:
1. Dependencia funcional:
- Formas de expresar la dependencia entre variables: descripción verbal, tabla,gráfica y fórmula.
2. Características de las gráficas:
- Aspectos globales: continuidad, crecimiento, valores extremos, periodicidad, tendencia.
- Aspectos locales: tasa de variación media (sólo opción B de cuarto curso).
3. Funciones elementales:
- Fenómenos y gráficas lineales: significado en términos de proporcionalidad.
- Fenómenos y gráficas de proporcionalidad inversa, cuadráticos, exponencialesy periódicos.
- Expresión algebraica asociada a una gráfica.
B. Información sobre fenómenos aleatorios:
4. Obtención de información sobre fenómenos aleatorios:
- Las muestras y su representatividad.
- Frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.
- Gráficas estadísticas usuales.
5. Parámetros estadísticos:
- Los parámetros centrales y de dispersión como resumen de un conjunto de datos estadísticos.
- Algoritmos para calcular parámetros centrales y de dispersión sencillos.
6. Dependencia aleatoria entre dos variables.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1. Utilización e interpretación de lenguaje gráfico, teniendo en cuenta la situación que se presenta y utilizando el vocabulario y los símbolos adecuados.
2. Utilización de expresiones algebraicas para describir gráficas en casos sencillos.
3. Interpretación y elaboración de tablas numéricas a partir de conjuntos de datos, de gráficas o de expresiones funcionales, teniendo en cuenta el fenómeno al que se refieren.
4. Utilización e interpretación de los parámetros de una distribución y análisis de su representatividad en relación con el fenómeno a que se refieren.
Algoritmos y destrezas.
5. Utilización de distintas fuentes documentales (anuarios, revistas especializadas, bancos de datos, etc.) para obtener información de tipo estadístico.
6. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas.
7. Elección de los parámetros más adecuados para describir una distribución en función del contexto y de la naturaleza de los datos y obtención de los mismos utilizando los algoritmos tradicionales o la calculadora.
8. Detección de falacias en la formulación de proposiciones que utilizan el lenguaje estadístico.
9. Construcción de gráficas a partir de tablas estadísticas o funcionales, de fórmulas y de descripciones verbales de un problema, eligiendo en cada caso el tipo de gráfica y medio de representación más adecuado.
10. Detección de errores en las gráficas que pueden afectar a su interpretación.
Estrategias generales.
11. Planificación y realización individual y colectiva de tomas de datos utilizando técnicas de encuesta, muestreo, recuento y construcción de tablas estadísticas.
12. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de una población de acuerdo con los resultados relativos a una muestra de la misma.
13. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica, teniendo en cuenta el fenómeno que representa o su expresión algebraica.
Actitudes
1. Reconocimiento y valoración de la utilidad de los lenguajes gráfico y estadístico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y del conocimiento científico.
2. Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en el tratamiento y representación gráfica de informaciones de índole muy diversa.
3. Reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico y otros conceptos y lenguajes matemáticos.
4. Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes o fenómenos.
5. Sensibilidad, interés y valoración crítica del uso de los lenguajes gráfico y estadístico en informaciones y argumentaciones sociales, políticas y económicas.
6. Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera más eficaz para realizar determinadas actividades (planificar y llevar a cabo experiencias, tomas de datos, etc.).
7. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de datos y resultados relativos a observaciones, experiencias y encuestas.
        Bloque 5. Tratamiento del azar
Conceptos
1. Fenómenos aleatorios y terminología para describirlos:
- Imprevisibilidad y regularidades en fenómenos y experimentos aleatorios.
- Posibilidad de realización de un suceso.
2. Asignación de probabilidades a sucesos:
- Frecuencia y probabilidad de un suceso.
- Ley de Laplace.
3. Asignación de probabilidades en experimentos compuestos:
- Experimentos dependientes e independientes.
- Probabilidad condicionada.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.
2. Confección de tablas de frecuencias y gráficas para representar el comportamiento de fenómenos aleatorios.
Algoritmos y destrezas.
3. Obtención de números aleatorios con técnicas diversas, tales como sorteos, tablas, calculadora, etc.
4. Utilización de distintas técnicas de recuento para la asignación de probabilidades.
5. Utilización de informaciones diversas (frecuencias, simetrías, creencias, observaciones previas, etc.) para asignar probabilidades a los sucesos.
6. Cálculo de probabilidades en casos sencillos con la Ley de Laplace.
7. Utilización de diversos procedimientos (recuento, diagramas de árbol, tablas de contingencia, etc.) para el cálculo de la probabilidad de sucesos compuestos.
8. Detección de los errores habituales en la interpretación del azar.
Estrategias generales.
9. Reconocimiento de fenómenos aleatorios en la vida cotidiana y en el conocimiento científico.
10. Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos.
11. Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en distintos contextos.
12. Planificación y realización, de forma individual o en equipo, de experiencias sencillas para estudiar el comportamiento de fenómenos de azar.
Actitudes
1. Reconocimiento y valoración de las Matemáticas para interpretar, describir y predecir situaciones inciertas.
2. Disposición favorable a tener en cuenta las informaciones probabilísticas en la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios.
3. Curiosidad e interés por investigar fenómenos relacionados con el azar.
4. Valoración crítica de las informaciones probabilísticas en los medios de comunicación, rechazando los abusos y usos incorrectos de las mismas.
5. Cautela y sentido crítico ante las creencias populares sobre los fenómenos aleatorios.
6. Sensibilidad, gusto y precisión en la observación y diseño de experiencias relativas a fenómenos de azar.
7. Flexibilidad y tolerancia en la realización en equipos de trabajo de experiencias para estudiar fenómenos de azar.

Especificaciones para el cuarto curso
Con el fin de contemplar la diversidad de intereses del alumnado, pero garantizando una formación matemática básica y general en esta etapa educativa, se establecen ciertas especificaciones en los términos siguientes:
En el último curso las alumnas y los alumnos podrán elegir entre dos opciones en el área de Matemáticas. Estas opciones comparten la mayor parte de los contenidos y se diferencian principalmente por su enfoque. Las peculiaridades de cada opción habrán de manifestarse sobre todo en los sucesivos niveles de concreción, en los que la diferencia de orientación puede tener mayores consecuencias tanto en lo relativo a la pormenorización de los contenidos, como en los criterios metodológicos. Debe tenerse en cuenta que en la caracterización de las opciones se hace referencia únicamente a aquello que sirve para establecer la diferenciación, y no debe suponer el abandono de otros aspectos.
Opción A
Esta opción, de carácter más terminal, debe orientarse, en primer lugar, a favorecer el desarrollo de capacidades relacionadas con la aplicación de las Matemáticas: para obtener y transmitir información, para resolver problemas
relacionados con el entorno y para tomar decisiones que las requieran. Para esto es preciso que el alumnado tenga la posibilidad de utilizar lo aprendido en un conjunto suficientemente amplio y diverso de ocasiones. Ello puede permitir el
desarrollo de formas propias de enfrentarse a las situaciones y de calcular, así como la puesta en práctica de estrategias personales para analizar y resolver problemas, condiciones que pueden garantizar en mayor medida su aplicación.
Y por otra parte, también hace posible la necesaria confianza en lo que se sabe y se sabe hacer.
Otra característica de esta opción es la especial importancia que ha de darse a la utilización de las Matemáticas en la comunicación habitual. Ello supone la necesidad de conseguir que el alumnado sea capaz de interpretar informaciones
diversas y argumentaciones, que utilice conceptos, términos, representaciones u otros elementos relacionados con las Matemáticas, así como facilitar la inclusión de estos elementos en su forma de expresión.
En tercer lugar, ha de limitarse en esta opción la utilización de representaciones simbólicas y, en general, de formalismos no estrictamente necesarios. Esto permite y exige, en la resolución de problemas, la adquisición de estrategias y
destrezas con menor carga sintáctica, y por ello más próximas al significado de lo que se hace.
Con respecto a los contenidos, de las consideraciones anteriores se deduce que, si bien no existen contenidos exclusivos de esta opción, pueden marcarse algunos que podrían tener más relación con ella. Esto ocurre, por ejemplo, con los contenidos referidos a la lectura e interpretación de información gráfica (mapas y planos, gráficas estadísticas y funcionales, etc.). De la misma forma, algunos contenidos permiten el desarrollo y pormenorización diferente en cada opción. Así, por ejemplo, en el tratamiento de la proporcionalidad, en esta opción han de contemplarse con mayor detalle los números índices o el interés, que suponen, respectivamente, una ampliación y una aplicación de aquélla.
Opción B
La segunda opción se diferencia de la anterior principalmente por el mayor peso que debe darse a los aspectos formales. Esto supone asignar más importancia a las capacidades relacionadas con el empleo de lenguajes simbólicos y
representaciones formales, así como la tendencia a una precisión más alta en la utilización de conceptos, términos y cantidades.
Con este carácter más formal está relacionada la incidencia más fuerte en los aspectos constructivos frente a los interpretativos. Así, por ejemplo, con respecto a la utilización del lenguaje gráfico, además del desarrollo de la capacidad de leer gráficas e interpretarlas en relación con el fenómeno que representan, debe tener una mayor presencia la posibilidad de construir gráficas que representen relaciones funcionales o estadísticas en una gama más amplia de situaciones y con una exigencia mayor en cuanto a la adecuación del resultado.
El manejo de objetos matemáticos ha de conducir a la obtención de una serie de destrezas que permitan utilizarlos con soltura. Para ello es preciso el aprendizaje de ciertos algoritmos de cálculo que hacen posible la resolución de determinados problemas de manera automática y que, si bien tienen el peligro de alejarse más de su significado que otros métodos más informales, permiten enfrentarse a situaciones más complejas desde el punto de vista matemático.
En cuanto a los contenidos, las consideraciones anteriores se traducen en la determinación de algunos contenidos que se pueden considerar propios únicamente de esta opción. La capacidad de utilizar expresiones simbólicas se
amplia con el manejo de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, lo que lleva consigo la posibilidad de enfrentarse a problemas que lo requieran, así como la adquisición de destrezas algebraicas de resolución. En el mismo sentido debe
entenderse la resolución algebraica de la ecuación de segundo grado. Pero, además, poder manejar el lenguaje algebraico con mayor soltura permite, en el tratamiento de las relaciones funcionales, la utilización de expresiones
algebraicas en un rango más amplio de situaciones. La tasa de variación media es también un contenido específico de esta opción.
En el ámbito de la medida también hay en esta opción contenidos propios: el estudio de las razones trigonométricas y sus relaciones elementales, así como el aprendizaje de los procedimientos asociados a ellas, que permiten la obtención
indirecta de longitudes y ángulos en casos sencillos.

IV. Criterios de evaluación
1. Utilizar los números enteros, decimales y fraccionarios y los porcentajes para intercambiar información y resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana.
Se pretende garantizar la adquisición de un rango amplio de destrezas en el manejo de los distintos tipos de números de forma que pueda compararlos, operar con ellos y utilizarlos para recibir y producir información. Este criterio se
refiere a la utilización de números fraccionarios en situaciones reales y por ello con denominadores no excesivamente grandes, y con no más de dos operaciones encadenadas. Con respecto a los porcentajes, se trata de utilizarlos como
relación entre números y como operador en la resolución de problemas.
2. Resolver problemas para los que se precise la utilización de las cuatro operaciones, las potencias y las raíces cuadradas, con números enteros, decimales y fraccionarios, eligiendo la forma de cálculo apropiada y valorando la
adecuación del resultado al contexto.
Se trata de valorar si el alumnado es capaz de asignar a las distintas operaciones nuevos significados, e interpretar resultados diferentes a los que se obtienen habitualmente con números naturales. Se pretende, además, que el
alumno y la alumna sean capaces de determinar cuál de los métodos de cálculo (escrito, mental o con calculadora) es adecuado en cada situación, además de adoptar la actitud que lleva a no considerar el resultado del cálculo por bueno sin contrastarlo con la situación de partida.
3. Utilizar convenientemente aproximaciones por defecto y por exceso de los números acotando el error, absoluto o relativo, en una situación de resolución de problemas, desde la toma de datos hasta la solución.
Este criterio supone el manejo de los conceptos y procedimientos relacionados con la precisión, la aproximación y el error. Los alumnos y las alumnas deben poder aplicar técnicas de obtención de números aproximados por redondeo y
truncamiento, y ser conscientes de la necesidad de utilizar números aproximados en algunos casos y del error que se puede llegar a cometer con su uso.
4. Interpretar relaciones funcionales dadas en forma de tabla o a través de una expresión algebraica sencilla y representarlas utilizando gráficas cartesianas.
Este criterio supone el manejo de representaciones gráficas, tanto para obtener información a partir de ellas como para expresar relaciones de distinto tipo. La información obtenida de las gráficas ha de ser tanto global (aspectos generales
de la gráfica, crecimiento, etc.), como local (obtención de pares de valores relacionados, etc.). En cuanto a la realización de la gráfica, es exigible en el segundo ciclo una mayor corrección, tanto en la precisión con que se trace como en su concepción: elección del tipo de gráfica y de las escalas adecuadas, determinación del intervalo que se representa, etc.
5. Resolver problemas de la vida cotidiana por medio de la simbolización de las relaciones que puedan distinguirse en ellos y, en su caso, de la resolución de ecuaciones de primer grado (específico de la opción A).
Este criterio va dirigido a comprobar que el alumnado es capaz de utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas. Para ello, ha de poner en juego la capacidad de utilizar los símbolos, con las convenciones de
notación habituales, para el planteamiento de ecuaciones, y resolver esas ecuaciones por algún medio fiable que no necesariamente ha de ser la manipulación algebraica de las expresiones.
6. Resolver problemas en los que se precise el planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (específico de la opción B).
Este criterio trata de garantizar la adquisición de una cierta destreza en la utilización del lenguaje algebraico. El planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones requiere estar familiarizado con los conceptos de ariable/incógnita, con las convenciones de notación y transformaciones algebraicas y con el significado de ecuación y sistema, así como conocer técnicas de resolución algebraica. Es necesario resaltar que tan importante como la codificación de las relaciones en forma de ecuación, es la descodificación en términos del problema planteado. El planteamiento de ecuaciones fuera de contexto no constituye una tarea con la que pueda valorarse este criterio.
7. Asignar e interpretar la frecuencia y probabilidad en fenómenos aleatorios de forma empírica, como resultado de recuentos, por medio del cálculo (ley de Laplace) o por otros medios.
En este criterio el énfasis reside en el proceso de asignación de probabilidades y la interpretación que de ellas se haga, más que en la propia forma de expresión de la probabilidad. Puede ser válida la utilización de formas diferentes al tanto
por uno, como el tanto por ciento o la proporción. En los casos de sucesos compuestos, los alumnos y las alumnas utilizarán recursos para la asignación de probabilidades, como las consideraciones de simetría o la construcción de
diagramas en árbol.
8. Presentar e interpretar informaciones estadísticas teniendo en cuenta la adecuación de las representaciones gráficas y la significatividad de los parámetros, así como valorando cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas.
Este criterio supone un conocimiento suficiente de los conceptos relacionados con el muestreo, las representaciones gráficas y las medidas de centralización y dispersión, así como una actitud que favorezca la reflexión sobre la oportunidad y el modo de utilización de estas técnicas. Se utilizarán también técnicas estadísticas sencillas de recuento, construcción de tablas de efectivos, representación gráfica y cálculo de algunas medidas.
9. Estimar la medida de superficies y volúmenes de espacios y objetos con una precisión acorde con la regularidad de sus formas y con su tamaño, y calcular superficies de formas planas limitadas por segmentos y arcos de circunferencia,
y volúmenes de cuerpos compuestos por ortoedros.
A través de este criterio, se pretende comprobar que el alumnado ha adquirido la experiencia y las capacidades necesarias para estimar superficies y volúmenes con una cierta precisión. El grado de aproximación con que se obtengan los volúmenes será menor que en los casos de magnitudes lineales o superficiales, y mucho más dependiente de la existencia de formas “regulares”. En cuanto al cálculo, no se trata tanto de la aplicación de fórmulas como de la utilización de las nociones de superficie o volumen.
10. Utilizar los conceptos de incidencia, ángulos, movimientos, semejanza y medida, en el análisis y descripción de formas y configuraciones geométricas.
Se pretende comprobar con este criterio que el alumno y la alumna son capaces de utilizar los conceptos básicos de la geometría para conocer mejor el mundo físico que les rodea, que han adquirido el conocimiento de la terminología
adecuada, y desarrollado las capacidades relacionadas con la visualización de formas y características geométricas. Conviene limitar el alcance del criterio de evaluación a figuras planas y espaciales con una cierta regularidad.
11. Interpretar representaciones planas de espacios y objetos y obtener información sobre sus características geométricas (medidas, posiciones, orientaciones, etc.) a partir de dichas representaciones, utilizando la escala
cuando sea preciso.
Este criterio va dirigido a comprobar que el alumno y la alumna han conseguido manejar las representaciones planas habituales de los objetos y espacios bi y tridimensionales con la cantidad de información usual. Han de ser capaces de
expresar la información obtenida en dichas representaciones en términos de lo representado. Asimismo, este criterio requiere utilizar con soltura las escalas, numéricas y gráficas.
12. Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y geométrica en situaciones diversas y utilizarlas para el cálculo de términos proporcionales y razones de semejanza en la resolución de problemas.
Por una parte, el alumnado ha de ser capaz de distinguir cuándo una relación es de proporcionalidad y cuándo no lo es a partir de la información de que disponga: el propio análisis de la situación, representaciones gráficas, tablas de
valores, etc.; y por otra, de realizar cálculos que le permitan averiguar cuartos proporcionales y razones de proporcionalidad. El dominio de la relación de proporcionalidad supone la capacidad de establecer y utilizar relaciones
significativas entre las diversas formas de estudiarla: numérica, geométrica, gráfica y algebraica.
13. Identificar y describir regularidades, pautas y relaciones conocidas en conjuntos de números y formas geométricas similares.
Este criterio pretende comprobar que el alumno y la alumna tienen recursos para percibir, en un conjunto o sucesión de objetos diferentes (números, formas geométricas, expresiones algebraicas, etc.), aquello que es común, la regla con
la que se han construido, un criterio que permita ordenarlos, etc. El núcleo de este criterio no es tanto la forma en que se expresen las citadas regularidades o relaciones, como el ser capaz de reconocerlas y comunicarlas.
14. Utilizar estrategias sencillas, tales como la reorganización de la información de partida, la búsqueda de ejemplos, contraejemplos y casos particulares o los métodos de “ensayo y error” sistemáticos, en contextos de resolución de
problemas.
Este criterio se refiere a la manera de enfrentarse a la resolución de problemas, así como a alguna de las posibles estrategias que se pueden poner en práctica. A la hora de aplicar este criterio debería tenerse en cuenta la familiaridad del alumnado con los objetos de los que trata, la disponibilidad de información explícita y no excesivamente abundante o la facilidad de codificación u organización de la información.