Introducción
Las matemáticas constituyen un área curricular que se mantiene con carácter obligatorio a lo largo de las dos etapas de la enseñanza obligatoria. Como toda área, supone un ámbito organizador del currículo escolar que traduce y articula, en un conjunto de objetivos y contenidos concretos, las intenciones globales que expresan los objetivos generales de la etapa.
De acuerdo con este carácter de instrumento organizador del currículo, el diseño de esta área se fijará en función de las siguientes fuentes de información:
Información derivada de los objetivos generales de etapa: estos señalan las intenciones que deben perseguirse a través del área, intenciones a las que deben responder todos los componentes del currículo. El análisis de la cultura, la naturaleza humana y la sociedad brinda criterios que permiten concretar los grandes objetivos o finalidades de la educación.
Información proporcionada mediante el análisis de la disciplina, de la naturaleza del conocimiento matemático y de sus características especificas, ya que se pretende que las matemáticas hagan una contribución específica a la formación del alumno. La información proveniente de esta fuente determina fundamentalmente las decisiones relativas a contenidos y objetivos del área y va alcanzando un mayor peso a lo largo de la enseñanza obligatoria.
Todo lo que se conozca sobre el aprendizaje y el desarrollo de las personas tiene aplicación al diseñar el currículo. Por ello, habrá que analizar los procesos constructivos del conocimiento, las variables psicoevolutivas que condicionan el proceso de enseñanza-aprendizaje y los instrumentos que pueden optimizar dicho proceso.
Una lectura atenta de los objetivos generales de las dos etapas de la enseñanza obligatoria nos permite inferir los rasgos esenciales que deberán caracterizar la educación matemática, ¿qué se espera de la contribución de esta área curricular a la educación global de los alumnos?
Las matemáticas se perfilan como instrumento de comunicación y como ámbito privilegiado para la codificación de determinado tipo de mensajes en la sociedad actual. Suponen un contexto adecuado para el desarrollo de estrategias personales de identificación y de resolución de problemas.
La actividad matemática puede suponer una experiencia que propicia el desarrollo de unos hábitos de razonamiento objetivo, sistemático y riguroso. Las matemáticas pueden ser un ámbito en el que el alumno desarrolle su autoestima, la sensibilidad estética, la creatividad y la imaginación, así como la tenacidad y la flexibilidad de pensamiento, potenciando, además, aptitudes específicas. El conocimiento matemático puede y debe contribuir a la comprensión de problemas provenientes del entorno físico y social.
De la conjunción de los rasgos señalados se deduce que las matemáticas propias de la enseñanza obligatoria pueden y deben constituir un tipo de conocimiento que contribuya al crecimiento personal de los individuos y facilitar, de esta forma, su inserción activa, responsable y constructiva en la vida social.
Se ha señalado la necesidad de preguntarse por el tipo de conocimiento que representan las matemáticas, al tiempo que se analiza su estructura, intentando ver en la disciplina una forma de pensar y en la estructura una fuente de información que permita una selección ponderada de contenidos y criterios para la concreción de intenciones educativas.
¿Qué son las matemáticas? Caben muchas definiciones: un lenguaje; un tipo especial de estructura lógica; un conjunto de conocimientos sobre los números y el espacio; una serie de métodos para extraer conclusiones; la esencia de nuestro conocimiento del mundo material; o, en fin, una divertida actividad intelectual. Es importante adoptar una perspectiva sobre estas cuestiones, ya que, a lo largo de la historia del currículo, se han resaltado distintos aspectos entre los señalados, que han dado lugar a diferentes enfoques en las matemáticas escolares.
En otros momentos históricos los currículos de matemáticas han destacado su componente estructural. Se han presentado como algo construido y visto desde fuera en su estado de elaboración actual. Frente a este enfoque, la opción que aquí se mantiene, entiende que el área curricular de matemáticas está pensada, no para transmitir la relevancia de unos elementos teóricos, sino para elaborar una forma de pensar que llamamos conocimiento matemático.
Como ciencia constituida, las matemáticas se caracterizan por su precisión, por su carácter formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su organización a menudo axiomática. No obstante, la revisión epistemológica de la disciplina nos obliga a diferenciar entre el proceso de construcción del conocimiento matemático y las características de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboración.
El conocimiento lógico matemático hunde sus raíces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de su actividad sobre los mismos, y muy especialmente, en su capacidad para abstraer y tomar en consideración dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes.
La elaboración y desarrollo del conocimiento matemático, tanto a nivel histórico como en su apropiación individual por el alumnado, no se puede separar de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de las aproximaciones inductivas impuestas por la realización de tareas y la resolución de problemas particulares. Los tanteos previos, los ejemplos y contraejemplos, la solución de un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver qué sucede, etc., son auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías. Desde esta perspectiva de su elaboración y adquisición, las matemáticas son, pues, más constructivas que deductivas.
Por otra parte, el enorme poder de las matemáticas como instrumento de comunicación conciso y sin ambigüedades les confiere un carácter distintivo. Gracias a la amplia utilización de diferentes sistemas de notación simbólica (números, letras, tablas, gráficos, etc.), son útiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa, poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados que todavía no se han producido.
No obstante, si las notaciones simbólicas pueden desempeñar este papel, ello se debe a la propia naturaleza del conocimiento matemático, al que sirven de expresión. Desligado de la actividad constructiva que está en su origen, el conocimiento matemático, en el ámbito de la enseñanza obligatoria, corre el peligro de caer en un puro formalismo y de perder toda su potencialidad como instrumento de representación, análisis, explicación y predicción.
Así pues, la formalización y el rigor del conocimiento matemático no son el punto de partida, sino más bien el punto de llegada de un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla, analizarla y transformarla.
La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningún caso ignorar que, como disciplina científica, las matemáticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes y que fundamenta unos conceptos en otros.
Esta jerarquización del conocimiento matemático se ve acompañada de otro tipo de relaciones que podrían representarse horizontalmente:
Hay unas constantes de procedimiento –estrategias o procedimientos generales– que pueden utilizarse en campos distintos y con propósitos diferentes. Contar, ordenar, clasificar, simbolizar, inferir, definir... Son saberes útiles en geometría, pero también, por ejemplo, en estadística. Es importante que a partir de una propuesta adecuada de actividades de enseñanza y aprendizaje, el alumnado pueda percibir este hecho, apropiándose, en consecuencia, del significado y sentido de dichos procesos.
Por otra parte, y aunque es necesario tener en cuenta la estructura jerárquica del conocimiento matemático a la hora de planificar su enseñanza, el trasvase automático de cadenas de conocimiento, válido desde una concepción de la estructura interna de las matemáticas, puede llegar a ser perjudicial, e incluso funesto, para el aprendizaje de las mismas. Quizá se han dado con demasiada frecuencia formulaciones curriculares que atendían más a la consistencia lógica de lo presentado que a las posibilidades de verlo "asentado" en el alumno.
La naturaleza de las matemáticas, su carácter constructivo y su vinculación con la capacidad de abstraer relaciones a partir de la propia actividad y de reflexionar sobre ellas, obliga a tener especialmente en cuenta, para planificar su enseñanza y aprendizaje, el nivel de competencia cognitiva del alumnado. En efecto: existe un estrecho vínculo entre las relaciones que los niños pueden establecer y manejar en un momento determinado y su nivel de desarrollo intelectual. Los estudios realizados en las últimas décadas sobre el desarrollo cognitivo permiten entender las dificultades que plantea la comprensión de determinadas propiedades y relaciones físicas, numéricas, espaciales, temporales, etc., hasta edades muy tardías, que coinciden, en ocasiones, con los últimos tramos de la educación obligatoria.
Del mismo modo, es un hecho ampliamente conocido que el grado de abstracción que impone en ocasiones el pensamiento matemático, –razonamiento sobre lo posible, inferencias a partir de relaciones de implicación entre enunciados simbólicos con independencia de lo que representan concretamente, formulación sistemática de hipótesis, etc.– está fuera del alcance de la mayoría del alumnado durante la educación primaria e incluso durante gran parte de la educación secundaria obligatoria.
Conviene recalcar entonces, que la vinculación señalada entre competencia cognitiva y experiencias de aprendizaje matemático puede y debe interpretarse también de la siguiente forma: el aprendizaje de las matemáticas es un medio excepcional para desarrollar las capacidades cognitivas que caracterizan a un pensamiento formal. De hecho, éste ha sido un argumento tradicionalmente utilizado para justificar su inclusión en el currículum de la educación obligatoria.
No obstante, es necesario señalar que, desde un enfoque constructivista del aprendizaje y la enseñanza, y al igual que sucede con los contenidos de otras áreas curriculares, el valor formativo de las matemáticas depende sobre todo de cómo se enseñan y aprenden; seleccionar y aplicar algoritmos, explorar e identificar relaciones entre objetos, situaciones o sucesos, elaborar estrategias de resolución de problemas, realizar inferencias, situar el conocimiento en sus coordenadas espacio-temporales, etc., son actividades que favorecen el desarrollo y la adquisición de capacidades muy diversas y que permiten al alumnado construir una cierta representación del significado cultural de esta forma del saber.
En relación con la última idea apuntada –historicidad del conocimiento matemático– es preciso señalar la necesidad de presentar las matemáticas no como algo cerrado y dicho para siempre, alejado de la realidad. Se hace necesario ver, a través de planteamientos didácticos, el papel de las matemáticas en el desarrollo histórico del conocimiento científico, cómo toman y han tomado parte en el proceso de modelización de la realidad, sirviendo además como medio de validación de esos modelos, y cómo su evolución y desarrollo ha determinado el avance en lo tecnológico, artístico y social de las sociedades históricas.
Se hace necesario además matizar el significado otorgado al concepto de "realidad". A veces, esta realidad es el referente concreto o sensible desde el que percibir regularidades, formas, estructuras, variaciones sobre un caso, fenómenos que se ajustan a modelos matemáticos. Pero en la educación matemática, hablar de realidad significa también apoyar la experiencia matemática sobre hechos o situaciones, con clara significación para el alumno, que pueden provenir de otras áreas curriculares, de la vida cotidiana, de su mundo imaginario... De esta manera, además, se pueden percibir las matemáticas como un instrumento de conocimiento del mundo con sentido para el alumno. No obstante, no puede esto hacer olvidar que a través de la actividad matemática puede ser creada una "realidad" alternativa y que la exploración en la posibilidad pura y el desarrollo de modelos "puramente" matemáticos casi siempre contribuyen a descubrir, comprender y explicar mejor la complejidad del mundo.
La actividad matemática no sólo contribuye a la formación en el pensamiento lógico-matemático, sino en otros aspectos muy diversos de la actividad intelectual: la creatividad, la intuición, la capacidad de análisis y critica, etc. Y también puede ayudar a desarrollar hábitos y actitudes positivas frente al trabajo: concentración ante las tareas, tenacidad en la búsqueda de soluciones a un problema, flexibilidad para cambiar el punto de vista en el enfoque de una situación... Es decir, determinadas formas de actividad matemática favorecen el desarrollo y adquisición de las capacidades señaladas y del equilibrio personal, ya que los alumnos se enfrentan de modo autónomo a diversos problemas y toman conciencia de sus capacidades y de la funcionalidad de su aprendizaje.
Junto a la finalidad formativa, las matemáticas escolares tienen una clara finalidad utilitaria y práctica. Además de constituir una herramienta auxiliar indispensable para el estudio de los contenidos de otras áreas curriculares de la enseñanza obligatoria y post-obligatoria, tienen, en el marco de la educación obligatoria, un referente claro: las necesidades matemáticas en la vida adulta. En la sociedad actual es necesario un conocimiento matemático mínimo para comprender determinado tipo de mensajes que aparecen continuamente en los medios de comunicación social, para realizar medidas y estimaciones de diferente naturaleza, o para efectuar operaciones comerciales o bancarias propias de la economía personal. El interés de unas matemáticas próximas a aplicaciones inmediatas es uno de los aspectos relevantes en el tratamiento y en los objetivos del área, pero no por ello deben limitarse a conocimientos útiles para situaciones esquemáticas como las apuntadas, sino que se debe desarrollar en los alumnos un sentido numérico y del espacio, en particular, y, en general, dotarlos de unos métodos de razonamiento y de trabajo que les permita reconocer como matematizables problemas y situaciones cotidianas y desenvolverse en ellas con los recursos precisos, evitando, así, que el desconocimiento o inseguridad constituyan ese impedimento que frecuentemente separa a las matemáticas de lo cotidiano y las repliega sobre sí mismas.
Dentro de este ámbito de preparación para la vida adulta, es necesario hacer una referencia especial a la necesidad de promover la participación de las alumnas, evitando comportamientos estereotipados que les alejen de esta área, con las repercusiones que esto tiene en las opciones profesionales y apoyando positivamente el desarrollo de su autoestima y de su interés por la actividad matemática.
La aparición y el uso generalizado en la sociedad actual de nuevos medios tecnológicos introduce otra dimensión en la finalidad utilitaria de las matemáticas escolares. La introducción de estos medios en la escuela ha de tener repercusiones no sólo en cuanto a la manera de enseñar matemáticas, sino también en la propia selección de contenidos.
A modo de resumen, se propone una orientación caracterizada por los siguientes rasgos:
– Las matemáticas han de ser enseñadas y aprendidas de manera que supongan un instrumento de pensamiento con el que aprehender y comprender lo real bajo aspectos cuantitativos y cualitativos (forma, relación, modelos...).
– Han de suponer un poderoso medio de comunicación que sirva para analizar, representar, explicar y predecir hechos y situaciones, apoyado en un uso amplio de notaciones simbólicas.
– Las matemáticas escolares propias de la enseñanza obligatoria tienen por finalidad que todos los alumnos adquieran los conocimientos matemáticos necesarios para servirse de ellos en la vida cotidiana y para desempeños profesionales que no requieren una formación especializada. La singularidad y potencia de los métodos propios de las matemáticas contribuirán definitivamente a su desarrollo intelectual y les prepararán también para estudios posteriores.
El carácter de las actividades matemáticas que propongamos estará determinado por:
– Una concepción de las matemáticas potenciadora de la imaginación, la abstracción, la iniciativa, la flexibilidad de pensamiento, la tenacidad, la curiosidad y la satisfacción que reportan los logros intelectuales –al ponerse en juego la capacidad de operar con elementos no necesariamente reales.
– La presentación de la disciplina como un camino que busca fundamentar sus propios métodos a través de la resolución de problemas.
– La promoción de una experiencia matemática que implique un trabajo sistemático en el que se formulen problemas, se piensen las estrategias de solución, se valoren y revisen los resultados y, en definitiva, se reflexione continua y sistemáticamente sobre el propio proceso de trabajo.
– La potenciación del uso del lenguaje matemático y la correcta utilización de un vocabulario específico.
– La concepción según la cual las matemáticas son también un instrumento necesario en el conocimiento de otras áreas, así como un producto cultural sometido a evolución y cambio en determinados aspectos.
En el transcurso de la educación secundaria obligatoria, los alumnos prosiguen un proceso de construcción del conocimiento matemático que ha alcanzado ya niveles considerables de desarrollo al término de la educación primaria. Se introducen nuevas relaciones, conceptos y procedimientos, ampliando el campo de reflexión matemática, se utilizan nuevos algoritmos, de creciente complejidad, y se exploran nuevas aplicaciones; todo ello mientras se enriquecen y profundizan las nociones y procedimientos introducidos en la etapa anterior. El desarrollo de la competencia cognitiva general del alumnado en estos años, y más concretamente, la posibilidad de llevar a cabo razonamientos de tipo formal, abre nuevas posibilidades para avanzar en el proceso de construcción del conocimiento matemático, asegurando niveles intermedios de abstracción, simbolización y formalización.
Estas posibilidades aparecen en una doble línea. En primer lugar, la capacidad que el adolescente tiene de abstraer relaciones y realizar inferencias, no sólo a partir de la manipulación de objetos físicos –como en la etapa educativa anterior–, sino también a partir de operaciones sobre representaciones simbólicas referidas a dichos objetos, permite avances sustanciales en el conocimiento matemático. En segundo lugar, y en estrecha relación con lo anterior, la capacidad del adolescente de trascender las informaciones concretas sobre la realidad y los datos de la experiencia inmediata, dando entrada a las conjeturas e hipótesis como forma de pensamiento, hace posible la introducción del razonamiento hipotético deductivo y abre una vía de acceso a los componentes más formales del conocimiento matemático.
De todas formas, debe reconocerse que los contenidos más complejos, formales y deductivos de las matemáticas siguen estando a menudo fuera de las posibilidades de comprensión de los alumnos, incluso al final de la educación obligatoria.
En esta etapa mantienen su validez los principios generales, antes señalados, que conceden prioridad al trabajo práctico e intuitivo –introduciendo las notaciones simbólicas y la formalización a partir del interés por los conceptos en contextos significativos. Igualmente sigue teniendo valor educativo la confrontación y la reflexión sobre las experiencias matemáticas particulares, atendiendo al desarrollo de estrategias personales en la resolución de problemas.
Los contenidos de matemáticas en esta etapa de educación obligatoria han de ser seleccionados no sólo por su valor de preparación para otros conocimientos que hayan de adquirirse en posteriores tramos no obligatorios de la educación, sino por el valor intrínseco de la formación aportada por las matemáticas y por su necesidad para la vida adulta en la sociedad moderna.
El objetivo de esta área debe ser que los alumnos adquieran los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos en una sociedad que incorpora y requiere, cada vez más, conceptos y procedimientos matemáticos. El currículo básico ha de permanecer dentro del marco de conocimientos considerados imprescindibles para satisfacer las necesidades matemáticas habituales de un ciudadano adulto en la sociedad actual y futura. Es difícil, sin embargo, precisar cuáles son y, sobre todo, cuáles serán en el futuro tales necesidades. La rapidez e imprevisibilidad con que se producen los cambios tecnológicos y científicos hacen imposible tal predicción. Sólo puede predecirse con seguridad que serán unas necesidades cambiantes a lo largo de la vida de las personas. Igualmente serán cambiantes las necesidades de formación matemática en la perspectiva de una preparación para estudios superiores. En consecuencia, en el currículo básico deben incluirse los contenidos más generales del conocimiento matemático, los que son transversales a sus distintos ámbitos e incluyen conceptos y procedimientos de carácter más común, a la vez que más funcional. Estos contenidos se adaptarán mejor, previsiblemente, a las necesidades cambiantes de la sociedad y al progreso en el propio conocimiento matemático.
De acuerdo con ello, en los contenidos básicos del currículo hay que otorgar un lugar prioritario a los procedimientos o modos de saber hacer, procedimientos por lo demás de naturaleza muy diversa y que se refieren principalmente a:
– habilidades en la comprensión y en el uso de los diferentes lenguajes matemáticos, de la simbología y notación específica de cada uno de ellos, así como de la traducción de unos a otros (por ejemplo, entre representaciones gráficas y expresiones algebraicas).
– las rutinas y algoritmos particulares, caracterizadas por tener un propósito concreto y unas reglas de uso claras y claramente secuenciadas.
– los heurísticos, o estrategias heurísticas, como las relativas a la estimación de cantidades y medidas, los procedimientos de simplificación y análisis de tareas, de búsqueda de regularidades y pautas y de expectativas de resultados, y los de comprobación y refutación de hipótesis.
– las competencias relativas a la toma de decisiones sobre qué conceptos (algoritmos o heurísticos) utilizar en una situación dada, en el planteamiento y solución de un problema y, en general, en el manejo conjunto y coordinado de las habilidades relativas a los anteriores grupos de procedimientos.
En el ámbito de las actitudes, los aprendizajes a realizar se agrupan en dos grandes categorías, estrechamente relacionadas entre sí. La primera hace referencia en líneas generales a la educación de una cierta sensibilidad para apreciar, valorar y llevar a cabo la actividad matemática. El desarrollo de la curiosidad y del interés por investigar y resolver problemas con una dedicación tenaz y concentrada, la creatividad en la formulación de conjeturas y soluciones, la flexibilidad necesaria para cambiar el punto de vista desde el que se está enfocando un problema, etc., No son algo solamente idiosincrásico, sino que pueden y deben ser estimulados a través de la educación matemática.
Debería planificarse la intervención pedagógica procurando un tratamiento sistemático de estas actitudes susceptibles de ser aprendidas y, por tanto, susceptibles de ser contempladas como contenidos educativos.
En relación con estas actitudes, adquiere relevancia especial en esta etapa el desarrollo de una actitud no dogmática frente a las matemáticas y al conocimiento científico en general, que debe ser considerado relativo al tiempo y al espacio.
En el último curso los alumnos podrán elegir entre dos opciones en el área de matemáticas. Estas opciones que comparten los contenidos, se diferencian principalmente por su enfoque. Las peculiaridades de cada opción habrán de manifestarse sobre todo en los sucesivos niveles de concreción, en los que la diferencia de orientación puede tener mayores consecuencias tanto en lo relativo a la pormenorización de los contenidos, como en los criterios metodológicos.

Objetivos generales
La enseñanza de las matemáticas en la etapa de Educación Secundaria Obligatoria tendrá como objetivo contribuir a desarrollar en las alumnas y alumnos las capacidades siguientes:
1. Incorporar al lenguaje y modos de argumentación habitual las distintas formas de expresión matemática (numérica, gráfica, geométrica, lógica, algebraica, probabilística) con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa.
2. Utilizar las formas de pensamiento lógico para formular y comprobar conjeturas, realizar inferencias y deducciones y organizar y relacionar informaciones diversas relativas a la vida cotidiana y a la resolución de problemas.
3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permiten, mediante la realización de los cálculos apropiados a cada situación, interpretarla mejor utilizando técnicas de recogida de datos, procedimientos de medida y las distintas clases de números.
4. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y para la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados.
5. Utilizar técnicas sencillas de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones diversas, para representarlas de forma gráfica y numérica y para formarse un juicio sobre ellas.
6. Reconocer la realidad como diversa y susceptible de ser explicada desde puntos de vista contrapuestos o complementarios: determinista/aleatorio, finito/infinito, exacto/aproximado, etc.
7. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que generan.
8. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, gráficos, planos, cálculos, etc.) presentes en las noticias, opiniones, publicidad, etc., y analizar críticamente las funciones que desempeñan y sus aportaciones para una mejor comprensión de los mensajes.
9. Actuar, en situaciones cotidianas y en la resolución de problemas, de acuerdo con modos propios de la actividad matemática: exploración sistemática de alternativas, precisión en el lenguaje, flexibilidad para modificar el punto de vista y perseverancia en la búsqueda de soluciones.
10. Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar las situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar con los aspectos creativos, manipularios, estéticos o utilitarios de las matemáticas.

Contenidos
     Bloque 1: Números y operaciones: significados, estrategias y simbolización.
Los contenidos de este bloque desarrollan la habilidad con los números, las operaciones y el cálculo. Esto supone el utilizar con soltura los distintos tipos de números, estimar cantidades y resultados, comprender el significado de las operaciones y aplicarlas convenientemente a la resolución de problemas. Este trabajo, que ya se ha realizado en primaria, debe ser aquí profundizado, evitando, por ejemplo, identificaciones confusas entre número y entero, producto y aumento, división y disminución, o potencia y repetición de factores.
Debe prestarse igual atención a los distintos tipos de cálculo (mental, instrumental, aproximado...) y a las estrategias que faciliten una mayor agilidad y sean más adecuadas a cada situación. En este sentido, el tratamiento de series iría encaminado a reforzar relaciones numéricas, sin prestar atención a las propiedades que de ellas se puedan inferir, y la actividad de contar puede ampliarse hasta llegar a utilizar estrategias de recuento.
El manejo de los números obliga a fijar un sistema de numeración. El decimal es el utilizado, y es interesante valorar su eficacia y constatar su vigencia frente a otros sistemas.
Los contenidos de este bloque proporcionan a los alumnos y alumnas un lenguaje y unas estrategias de actuación imprescindibles para el resto del área, pues cualquier actividad matemática necesita, en mayor o menor medida, conceptos y destrezas de naturaleza numérica. Recíprocamente, el valor y el significado que otros contextos (medida, geometría, probabilidad...) asignan a las operaciones, a los números, y, en general, a las habilidades numéricas, son necesarios para la construcción de las estructuras conceptuales asociadas a ellas. Por tanto, los contenidos de este bloque han de trabajarse estrechamente vinculados con los del resto del área.
Es muy importante, desde el comienzo de la etapa, atender a los contenidos de actitudes, por su gran incidencia en la forma en que el alumnado se acerca y valora el conjunto de las matemáticas. 
Conceptos
1. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales.
– Significado, uso y notación: contar, calcular y medir, expresar cantidades y magnitudes, ordenar, codificar...
– Números fraccionarios. Identificación de decimales, fracciones y porcentajes.
2. Notaciones numéricas.
– Sistema de numeración decimal.
– Notación científica.
– Jerarquía de las operaciones. Paréntesis.
3. Operaciones.
– Significado y uso de la suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números.
– Significado y uso de las potencias de exponente entero y raíz cuadrada. Potencia y raíz como operaciones inversas.
4. Relaciones entre números.
– Orden y representación de los números en la recta.
– La relación múltiplo-divisor.
5. Magnitudes proporcionales.
– Significado de la proporcionalidad de magnitudes en distintos contextos.
– Expresiones usuales de la proporcionalidad: tantos por algo, tasas, factores de proporción y conversión.
6. Aproximación y estimación de cantidades.
– Aproximación de un número por otro más sencillo: diversos métodos.
– Margen de error en las estimaciones y aproximaciones.
7. Algoritmos básicos e instrumentos de cálculo.
– Algoritmos para operar con números enteros, decimales y fraccionarios sencillos y para el cálculo de porcentajes.
– Significado y uso de las propiedades de las operaciones para la elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito.
– Reglas de uso de la calculadora.
– Otros instrumentos de cálculo disponibles.
8. Significado y uso del lenguaje algebraico.
– La jerarquía de las operaciones. Significado y uso de los paréntesis.
– Significado y uso de la letra para representar objetos, números y conjuntos numéricos.
– Significado del signo "=" entre expresiones algebraicas.
– Valor numérico de una expresión algebraica; soluciones de ecuaciones.
– Reglas para desarrollar y simplificar expresiones literales sencillas.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1.– Interpretación y utilización de los números, las operaciones, las aproximaciones y el lenguaje algebraico en diferentes contextos, eligiendo la notación más adecuada para cada caso.
2.– Interpretación y elaboración de códigos y tablas, numéricos y alfanuméricos, para gestionar o transmitir informaciones.
3.– Representación, sobre una recta o mediante diagramas y figuras, de números enteros, fraccionarios y decimales sencillos y de problemas numéricos.
4.– Formulación verbal de problemas numéricos y algebraicos, de los términos en que se plantean y de su proceso de resolución, confrontándolo con otros posibles.
5.– Interpretación y utilización del signo igual en distintas expresiones numéricas y algebraicas.
Algoritmos y destrezas:
6.– Comparación, clasificación y ordenación de números por distintos procedimientos y de acuerdo con criterios dados.
7.– Transformación y aproximación de números de acuerdo con la precisión que requiera su uso.
8.– Elaboración y utilización de estrategias personales de estimación de cantidades y cálculo mental.
9.– Utilización de los algoritmos tradicionales de suma, resta, multiplicación y división con números enteros, decimales y fracciones sencillas.
10.– Utilización de diferentes procedimientos (factor de conversión, regla de tres, tantos por algo, manejo de tablas y gráficos...) para efectuar cálculos de proporcionalidad, y de la terminología específica de algunos de ellos (intereses, mezclas, tasas, índices, ratios...).
11.– Utilización de la calculadora para la realización de cálculos numéricos y decisión sobre la conveniencia de su uso en función de la complejidad de los cálculos y de la exigencia de exactitud en los resultados.
12.– Clasificación de conjuntos de números y construcción de series numéricas de acuerdo con una regla dada.
13.– Utilización de distintos procedimientos (paso de decimal a fracción o viceversa, expresión de los datos en otras unidades más adecuadas...) para efectuar cálculos de manera sencilla.
14.– Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones y de las reglas de uso de los paréntesis en cálculos escritos y en la simplificación de expresiones algebraicas sencillas.
15.– Resolución de ecuaciones y sistemas de primer grado por transformación algebraica, y de otras ecuaciones por métodos numéricos y gráficos.
16.–Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Estrategias generales:
17.– Búsqueda y expresión de propiedades, relaciones y regularidades en conjuntos de números.
18.– Identificación de problemas numéricos diferenciando los elementos conocidos de los que se pretende conocer y los relevantes de los irrelevantes.
19.– Decisión sobre qué operaciones son adecuadas en la resolución de problemas numéricos.
20.– Reducción de problemas numéricos complejos a otros más sencillos (sustitución de los datos por otros más simples, de una situación con muchos elementos a otra con menos, de un caso particular a uno general, de uno general a uno particular, etc.) para facilitar su comprensión y resolución.
21.– Identificación en la vida cotidiana del uso de la proporcionalidad entre diferentes tipos de magnitudes.
22.– Formulación de conjeturas sobre situaciones y problemas numéricos, y comprobación de las mismas mediante el uso de ejemplos y contraejemplos, el método de ensayo y error, etc.
23.– Utilización del método de análisis-síntesis para resolver problemas numéricos.
Actitudes
Referentes a la apreciación de las matemáticas:
1.– Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje numérico y del álgebra para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.
2.– Incorporación del lenguaje numérico, del cálculo y de la estimación de cantidades a la forma de proceder habitual.
3.– Sensibilidad, interés y valoración crítica ante las informaciones y mensajes de naturaleza numérica.
4.– Reconocimiento y valoración crítica de la utilidad de la calculadora y de otros instrumentos para la realización de cálculos e investigaciones numéricas.
5.– Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas y realizar cálculos y estimaciones numéricas.
6.– Curiosidad e interés por enfrentarse a problemas numéricos e investigar las regularidades y relaciones que aparecen en conjuntos de números o códigos numéricos.
7.– Curiosidad histórica para interpretar el desarrollo del conocimiento matemático –en relación con otras áreas curriculares.
Referentes a la organización y hábitos de trabajo:
8.– Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas numéricos.
9.– Disposición favorable a la revisión y mejora del resultado de cualquier conteo, cálculo o problema numérico.
10.– Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos distintas de las propias.
11.– Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en problemas y cálculos numéricos.
     Bloque 2: Medida, estimación y cálculo de magnitudes
Medir es una necesidad inmediata del ser humano en su relación con el entorno. La noción de medida se va construyendo de forma natural, al margen, incluso, de la enseñanza y aprendizaje de los sistemas de unidades convencionales y de los procedimientos indirectos de medida.
En este sentido, parece conveniente tener en cuenta cómo evoluciona la noción de medida a través de un proceso educativo sistemático.
En los primeros años de la etapa debe prestarse una atención especial al propio concepto de medida, a las comparaciones de tamaños de figuras y cuerpos y a las mediciones directas de magnitudes.
Debe considerarse que las medidas indirectas, que tradicionalmente constituían el núcleo del capítulo de medida, son sólo el aspecto más formal de los conceptos de superficie, volumen y tiempo. En este sentido, la función de las fórmulas debe contemplarse también en su valor algebraico, no quedándose en un uso sistemático de ellas.
Por otra parte, la medida ha de ser contemplada en estrecha relación con la proporcionalidad, la semejanza, los conceptos espaciales y el trabajo numérico.
Las destrezas prácticas de medida de diversas magnitudes deben ir afinándose paulatinamente, acompañadas de una reflexión, también progresivamente más ajustada, sobre el error que se comete. La estimación de medidas de objetos, relacionándolas con otras familiares, no sólo es útil en la vida cotidiana, sino que contribuye a fijar la propia idea de medida y a desarrollar la competencia numérica.
Durante toda la etapa, la medida debe utilizarse como instrumento de descripción, representación y exploración de tiempos, espacios y objetos geométricos. Y no deben olvidarse las aplicaciones que tiene en el resto de las áreas.
Conceptos
1. Medición.
– Una medida como información cuantitativa de tamaños y duraciones.
– Unidades de medida.
2. Sistemas de medida:
– Ampliación del sistema métrico decimal. Múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales para longitudes, áreas, volúmenes y masas.
– Unidades no habituales: lo muy grande y lo muy pequeño.
– Unidades de uso común en la zona.
– Otras unidades de interés.
3. Medida del tiempo:
– Unidades de tiempo. Su relación con los fenómenos astronómicos: relojes y calendarios en la nuestra y en otras culturas.
– Expresión de medidas temporales: formas compleja y decimal.
– Operaciones con las distintas unidades de tiempo.
4. Medida de ángulos:
– Sistema sexagesimal. Otros sistemas de medida.
– Medida de ángulos planos y diedros.
5. Medidas aproximadas:
– Estimación de medidas.
– Margen de error en la estimación y aproximación de medidas.
6. Medidas indirectas.
– Relación de las medidas de área y volumen con las mediciones lineales.
– Fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.
– Teorema de Pitágoras.
– Razones trigonométricas.
7. Instrumentos de medida.
– Instrumentos de medida más frecuentes.
– Instrumentos de medida tradicionales en la zona.
– Precisión de los instrumentos de medida.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes:
1.– Utilización del vocabulario adecuado para interpretar y transmitir informaciones acerca de tamaños y duraciones de objetos, figuras e intervalos de tiempo.
2.– Expresión de las medidas con la terminología y precisión adecuadas a la magnitud considerada y al instrumento utilizado.
3.– Utilización de representaciones a escala para medir magnitudes reales.
Algoritmos y destrezas:
4.– Utilización de las fórmulas para medir longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricos.
5.– Medida de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras utilizando distintas técnicas, tales como las representaciones a escala, la descomposición en otras más simples o el peso.
6.– Utilización de las razones trigonométricas para la medida indirecta de longitudes y ángulos.
7.– Acotación de los errores cometidos al estimar, medir o aproximar una magnitud.
8.– Utilización diestra de los instrumentos de medida habituales. Estrategias generales.
9.– Estimación de la medida de objetos, tiempos y distancias.
10.– Planificación individual o colectiva de tareas de medición, previendo los recursos necesarios, la secuenciación de operaciones de medida, el procesamiento de los datos, el grado de precisión exigida y la puesta en común.
Actitudes
Referentes a la apreciación de las matemáticas:
1.– Reconocimiento y valoración de la utilidad de la medida para transmitir informaciones precisas relativas al entorno.
2.– Reconocimiento de la importancia y utilidad de las medidas indirectas como un medio sencillo para medir determinadas magnitudes.
3.– Incorporación al lenguaje cotidiano de los términos de medida para describir objetos, espacios y duraciones.
4.– Disposición favorable a realizar o estimar medidas de objetos, espacios y tiempos cuando la situación lo aconseje.
5.– Valoración crítica de las informaciones relativas a medidas, de acuerdo con el objeto a que se refieren y con la precisión y unidades en que se expresan.
6.– Reconocimiento y valoración de la medida como elemento de relación entre diferentes lenguajes, conceptos y métodos matemáticos.
Referentes a la organización y hábitos de trabajo:
7.– Revisión sistemática del resultado de las medidas directas o indirectas, aceptándolas o rechazándolas según se adecuen o no a los valores esperados.
8.– Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidades de medida utilizadas.
9.– Cuidado y precisión en el uso de los diferentes instrumentos de medida y en la realización de mediciones.
10.– Localización histórica y valoración de los resultados que aparecen en los contenidos: teorema de Pitágoras, calendarios, sistema métrico.
   Bloque 3: Representación y organización del espacio
Se recoge en este bloque el estudio de las formas, configuraciones y relaciones geométricas, tanto planas como espaciales, así como de las transformaciones elementales que permiten modificarlas y relacionar unas con otras.
La representación de formas y posiciones en el espacio (mediante dibujos o modelos de diferentes clases) es un buen instrumento para intuirlo, manipularlo y conceptualizarlo. A este respecto, el trabajo con mapas y planos es muy útil; destaca por su peculiaridad la representación plana de volúmenes, y en particular la de la esfera, que permitiría tratar las configuraciones planas de la tierra y sus elementos (paralelos y meridianos).
La semejanza, como relación entre los objetos de igual forma y como técnica de representación a escala, constituye uno de los principales nexos de unión con el resto de los contenidos del área, principalmente los de los dos primeros bloques. Desde el principio de la etapa deben trabajarse simultáneamente el plano y el espacio y las relaciones que existen entre ambos, considerando el espacio no como una ampliación del plano, sino como ese todo de cuyo análisis surgen no sólo objetos y figuras geométricas sino también planos, rectas y puntos.
Las actitudes positivas que se desarrollan con la actividad geométrica, el gusto por la belleza de las formas, por el trabajo bien hecho y por resolver problemas, juegan un papel importante en la consecución de otros aprendizajes. En este bloque, y precisamente por ser la geometría un contexto privilegiado de planteamiento de problemas y situaciones de investigación, tienen una importancia especial los procedimientos y estrategias generales que se desarrollan en esta etapa.
Conceptos
1. Figuras y cuerpos.
– Clasificación de figuras y cuerpos atendiendo a distintos criterios.
– Elementos característicos de polígonos y cónicas.
– Elementos característicos de poliedros y cuerpos redondos.
– Relaciones de inscripción, descomposición e intersección entre figuras y cuerpos.
– Regularidades y simetrías en figuras, cuerpos y composiciones geométricas.
– Utilidad e importancia de algunas figuras y cuerpos para propósitos concretos: teselar, rellenar, rodar, minimizar áreas o perímetros...
2. Los elementos geométricos en el plano y en el espacio.
– Elementos básicos para la descripción del espacio: puntos, rectas y planos.
– Relaciones básicas para la descripción y organización del espacio: paralelismo, perpendicularidad e incidencia.
3. Sistemas de referencia.
– Coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio.
– Coordenadas en la superficie esférica. Longitud y latitud.
4. Figuras semejantes: la representación a escala.
– Representaciones manejables de la realidad: planos, mapas y maquetas.
– Figuras de igual forma: semejanza.
– El teorema de Thales.
– Relación entre el área y el volumen de figuras semejantes.
5. Transformaciones isométricas.
– Translaciones, giros y simetrías.
– Propiedades que se conservan con las transformaciones.
– Composición de transformaciones en casos sencillos.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1.– Utilización de la terminología y notación adecuadas para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y configuraciones geométricas.
2.– Descripción verbal de problemas geométricos y del proceso seguido en su resolución, confrontándolo con otros posibles.
Algoritmos y destrezas.
3.– Utilización de los sistemas de referencia para situar y localizar objetos.
4.– Utilización diestra de los instrumentos de dibujo habituales.
5.– Construcción y utilización de modelos geométricos, esquemas, planos y maquetas en el plano y en el espacio, utilizando la escala, los instrumentos, los materiales y las técnicas adecuadas a cada caso.
6.– Utilización de planos y esquemas para orientarse.
7.– Representación plana de cuerpos geométricos sencillos, conservando una cierta sensación de perspectiva.
8.– Identificación de la semejanza entre figuras y cuerpos geométricos, obteniendo, cuando sea posible, el factor de escala utilizado.
9.– Utilización del teorema de Thales para obtener o comprobar relaciones métricas entre figuras.
3. Estrategias generales.
10.– Búsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geométricas.
11.– Identificación de problemas geométricos, diferenciando los elementos conocidos de los que se pretende conocer y los relevantes de los irrelevantes.
12.– Utilización de la composición, descomposición, intersección, movimiento, deformación y desarrollo de cuerpos, figuras y configuraciones geométricas, para analizarlas u obtener otras.
13.– Elección de las formas o configuraciones geométricas que se ajustan mejor a unas condiciones dadas.
14.– Reducción de problemas geométricos complejos a otros más sencillos (pasando del espacio al plano, de una figura complicada a otra más simple, de una configuración con muchos elementos a otra con menos elementos, del caso particular a uno general, del caso general a uno particular, etc.) para facilitar la comprensión y solución del mismo.
15.– Formulación y comprobación de conjeturas acerca de propiedades geométricas en cuerpos y figuras y de la solución de problemas geométricos en general.
16.– Utilización del método "hacia atrás" o "suponer el problema resuelto" para abordar problemas geométricos.
17.– Utilización de métodos inductivos y deductivos para la obtención de propiedades geométricas de los cuerpos y de relaciones entre ellos.
Actitudes
Referentes a la apreciación de las matemáticas.
1.– Reconocimiento y valoración de la utilidad de la geometría para conocer y resolver diferentes situaciones relativas al entorno físico.
2.– Reconocimiento y valoración de las relaciones entre diferentes conceptos, como la forma y el tamaño de los objetos, y entre los métodos y lenguajes matemáticos que permiten tratarlos.
3.– Sensibilidad para percibir las cualidades estéticas de las configuraciones geométricas, reconociendo su presencia en la naturaleza, en el arte y en la técnica.
4.– Interés y gusto por la descripción verbal precisa de formas y características geométricas.
5.– Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.
6.– Confianza en las propias capacidades para percibir el espacio y para resolver problemas geométricos.
7.– Sentido crítico ante las representaciones a escala utilizadas para transmitir mensajes de diferente naturaleza.
8.– Interés y curiosidad por conocer qué problemas y situaciones llevaron a Thales a desarrollar algunos conceptos y métodos vigentes hoy.
Referentes a la organización y hábitos de trabajo.
9.– Perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos y en la mejora de las ya encontradas.
10.– Flexibilidad para enfrentarse a situaciones geométricas desde distintos puntos de vista.
11.– Interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas geométricos distintas de las propias.
12.– Sensibilidad y gusto por la realización sistemática y por la presentación cuidadosa y ordenada de trabajos geométricos.
   Bloque 4: Interpretación, representación y tratamiento de la información
En muchas ocasiones, la información matemática que se obtiene de los objetos y de los fenómenos naturales y sociales viene dada en forma de relación entre magnitudes –bien sea una relación causal o de tipo estadístico.
En este bloque se pretende tanto aprender a distinguir entre unas y otras relaciones como aprender a analizarlas y expresarlas verbal, numérica, gráfica y algebraicamente. Es aconsejable el tratamiento de las relaciones funcionales desde el comienzo de la etapa, con aproximaciones más cualitativas (al principio), apoyadas en procesos descriptivos; más adelante habrá que recurrir a expresiones algebraicas manipulables por los alumnos. Esta última forma de expresión, por la dificultad que conlleva su comprensión, parece conveniente tratarla en el segundo ciclo de la etapa, lo que permitirá, además, mayor dedicación al trabajo con gráficas de distintos tipos: continuas o no, analíticas o no, escalonadas, punto a punto, etc.
En la información estadística pierden relevancia los algoritmos para el cálculo de parámetros debido a la utilización de las calculadoras. Se considera más interesante la interpretación de gráficas y la utilización adecuada de los métodos propios de la estadística en contextos con clara significación para el alumno, así como el desarrollo de una actitud crítica frente al lenguaje estadístico utilizado en distintos ámbitos de la vida cotidiana, actitud que permitirá valorar la pertinencia y corrección de su empleo.
Los procesos estadísticos aportan una dimensión nueva al tratamiento del número, a partir de su consideración como dato en un proceso. Este tratamiento del número como dato, frente al número como operador, abre una perspectiva hacia la matemática de lo discreto.
Conceptos
1. La información sobre fenómenos causales.
– Distintas expresiones de la relación funcional entre variables: descripción verbal, tabla, gráfica, formula.
– Características de las gráficas de funciones: continuidad, crecimiento, valores extremos, periodicidad, tendencia, tasa de variación media.
– Fenómenos que dan lugar a gráficas lineales, cuadráticas, hiperbólicas, exponenciales y periódicas. Estudio de esas gráficas.
– Significado de gráficas lineales e hiperbólicas en términos de proporcionalidad.
– Expresión algebraica asociada a una gráfica.
2. Información estadística sobre fenómenos no causales.
– Obtención de información sobre fenómenos aleatorios. Las muestras y su representatividad. Las tablas de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.
– Gráficas estadísticas usuales en los medios de comunicación y en el conocimiento científico.
– Los parámetros centrales y de dispersión como resumen de un conjunto de datos estadísticos.
– Algoritmos para calcular parámetros centrales y de dispersión.
– Dependencia aleatoria entre dos variables.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1.– Utilización, relación e interpretación de los lenguajes verbal y gráfico para expresar situaciones con el vocabulario y símbolos adecuados.
2.– Utilización de expresiones algebraicas para describir gráficas en casos sencillos.
3.– Interpretación y elaboración de tablas numéricas a partir de datos, gráficas o expresiones funcionales, teniendo en cuenta el fenómeno al que se refieren.
4.– Detección de falacias y errores en la utilización del lenguaje gráfico y estadístico.
5.– Utilización e interpretación de los parámetros de una distribución y análisis de su representatividad en relación con el fenómeno a que se refieren.
Algoritmos y destrezas.
6.– Utilización de distintas fuentes documentales (anuarios, revistas especializadas, bancos de datos, etc.) para obtener información de tipo estadístico.
7.– Interpretación de los datos relativos a una muestra estadística, teniendo en cuenta su representatividad.
8.– Elección de los parámetros más adecuados para describir una distribución en función del contexto y de la naturaleza de los datos, y obtención de los mismos utilizando los algoritmos tradicionales o la calculadora.
9.– Construcción de gráficas a partir de tablas estadísticas o funcionales, de fórmulas y de descripciones verbales de un problema, eligiendo en cada caso, entre varios supuestos, el tipo de gráfica, enunciado y medio de representación más adecuado.
Estrategias generales.
10.– Obtención de datos –de forma individual y colectiva– utilizando diversas fuentes y recursos.
11.– Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de una población de acuerdo con los resultados relativos a una muestra de la misma.
12.– Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica, teniendo en cuenta el fenómeno que representa o su expresión algebraica.
Actitudes
Referentes a la apreciación de las matemáticas.
1.– Reconocimiento y valoración de la utilidad de los lenguajes gráfico y estadístico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y del conocimiento científico.
2.– Valoración de la incidencia de los nuevos medios tecnológicos en el tratamiento y representación gráfica de informaciones de índole muy diversa.
3.– Reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico y otros conceptos y lenguajes matemáticos.
4.– Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes o fenómenos.
5.– Sensibilidad, interés y valoración crítica del uso de los lenguajes gráfico y estadístico en informaciones y argumentaciones sociales, políticas y económicas.
Relativas a la organización y hábitos de trabajo.
6.– Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera más eficaz para realizar determinadas actividades (planificar y llevar a cabo experiencias, tomas de datos, etc.).
7.– Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad en el tratamiento y presentación de datos y resultados relativos a observaciones, experiencias y encuestas.
    Bloque 5: Tratamiento del azar
La aproximación al estudio de fenómenos y situaciones no causales comenzará con referencias a los aspectos cualitativos, para terminar con un análisis más detallado de los métodos que permiten su cuantificación.
La adquisición, por parte del alumnado, de determinados conceptos y estrategias a lo largo de la etapa le permitirán evolucionar desde la apreciación de lo posible, pasando por distintas formas de recuento y su expresión mediante frecuencias, hasta concluir en el concepto de probabilidad y su cálculo.
La noción de razón numérica y el desarrollo, en general, de la competencia numérica permitirán abordar contenidos de este bloque que, a su vez, amplían y profundizan la significación de los saberes antes aludidos.
Con el término "suceso" se alude a los posibles resultados de las experiencias analizadas, desposeyéndolo del significado algebraico que tendría en un estudio formal del espacio muestral asociado a las experiencias aleatorias. Por ello es conveniente introducir los contenidos que se pretenden estudiar mediante ejemplos prácticos, referidos a experiencias próximas al alumno o alumna.
A este respecto, es importante tener en cuenta –y conviene referirse a ello– que el origen de la teoría de la probabilidad está en el intento de predecir y calcular resultados en juegos de azar. Fue su éxito en este campo el que llevo a utilizarla, tal y como la encontramos en la actualidad, en el estudio de un gran número de fenómenos.
La actividad en torno al azar contribuye notablemente al aprendizaje de procedimientos de tipo general, tal como el diseño de experimentos y la observación, registro y búsqueda de regularidades en los resultados.
Hay una relación estrecha entre los contenidos de este bloque y los relativos al tratamiento estadístico de datos. Además del manejo del concepto común de frecuencia, hay actividades, como la elección de muestras y la extrapolación de resultados de una muestra a toda la población, que requieren intuiciones y actitudes críticas sobre lo aleatorio. Estas relaciones, junto con las ya señaladas relativas a la competencia numérica, obligan a una secuencia que integre coordinadamente todos estos contenidos.
Conceptos
1. Fenómenos aleatorios y terminología para describirlos.
– Fenómenos y experimentos aleatorios.
– Regularidades en fenómenos y experimentos aleatorios.
– Posibilidad y probabilidad en fenómenos aleatorios.
2. Asignación de probabilidades en experimentos simples.
– Frecuencia y probabilidad de un suceso.
– Regla de Laplace.
3. Asignación de probabilidades en experimentos compuestos.
– Experimentos dependientes e independientes.
– Probabilidad condicionada.
Procedimientos
Utilización de distintos lenguajes.
1.– Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones y experiencias relacionadas con el azar.
2.– Confección de tablas de frecuencias y gráficas para representar el comportamiento de fenómenos aleatorios.
Algoritmos y destrezas.
3.– Utilización de técnicas diversas para obtener números aleatorios (dados, bolas, tablas, calculadoras...).
4.– Utilización de distintas técnicas de recuento para la asignación de probabilidades.
5.– Utilización de informaciones diversas (frecuencias, simetrías, creencias, observaciones previas, etc.) para asignar probabilidades a los sucesos.
6.– Con la regla de Laplace, cálculo de probabilidades en casos sencillos.
7.– Utilización de diversos procedimientos (recuento, diagramas de árbol, tablas de contingencia, etc.) para el cálculo de probabilidades en experiencias compuestas.
8.– Detección de los errores habituales en la interpretación del azar.
Estrategias generales.
9.– Reconocimiento de fenómenos aleatorios en la vida cotidiana y en el conocimiento científico.
10.– Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos.
11.– Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en distintos contextos.
12.– Planificación y realización de experiencias sencillas para estudiar el comportamiento de fenómenos de azar.
Actitudes
Referentes a la apreciación de las matemáticas.
1.– Reconocimiento y valoración de las matemáticas para predecir, describir e interpretar situaciones inciertas.
2.– Disposición favorable a investigar fenómenos de azar y a tener en cuenta la probabilidad en la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios.
3.– Curiosidad por investigar fenómenos relacionados con el azar.
4.– Cautela y sentido crítico ante las creencias e informaciones sobre los fenómenos aleatorios y la probabilidad.
5.– Incorporación al lenguaje cotidiano del uso correcto de las expresiones relativas al azar.
6.– Reconocimiento de la relación entre la matemática y lo cotidiano en el origen de la teoría de la probabilidad y apreciación de la potencia de un método que ha pasado del estudio de juegos a sustentar modelos científicos.
Referentes a la organización y hábitos de trabajo.
7.– Sensibilidad, gusto y precisión en la observación y diseño de experiencias relativas a fenómenos de azar.

Especificaciones para el cuarto año
Dado que al final de esta etapa educativa se acentúan las diferencias individuales de los alumnos en lo referente a la competencia cognitiva, las actitudes, la valoración del conocimiento académico y el interés y afinidad hacia las matemáticas, se presentan dos opciones para el último curso de la Educación Secundaria Obligatoria.
En el marco de un currículum abierto y flexible, dichas opciones amplían el margen de maniobra para adecuar el currículo a los alumnos. Esta diferenciación curricular puede suponer una ayuda y una orientación para el tratamiento de la diversidad, sin representar, no obstante, opciones irreversibles, ni tan siquiera condicionantes de la orientación de los alumnos hacia futuros estudios.
Se distinguen las opciones pensando en alumnos con distintos intereses, distintas actitudes hacia las matemáticas y distinta facilidad para determinadas formas de actividad matemática. Con esta opcionalidad se trataría de establecer mayores niveles de garantía para el logro de los objetivos generales del área a través de experiencias educativas ajustadas a intereses y necesidades distintos, al tiempo que se amplía el margen de maniobra en los centros.
Sin perjuicio de que los distintos contenidos vayan a ser tratados de forma recurrente a lo largo de la etapa, el distinto peso y enfoque que algunos de ellos toman en el último curso de la Educación Secundaria Obligatoria va a dar lugar a la caracterización de las dos opciones que se ofrecen para ese año.
Opción A:
Esta opción, de carácter más terminal debe orientarse, en primer lugar, a favorecer el desarrollo de capacidades relacionadas con la aplicación de las matemáticas para obtener y transmitir información, para resolver problemas relacionados con el entorno y para tomar decisiones que las requieran. Para esto es preciso que los alumnos tengan la posibilidad de utilizar lo aprendido en un conjunto suficientemente amplio y diverso de ocasiones. Ello puede permitir el desarrollo de formas propias de enfrentarse a las situaciones y de calcular, así como la puesta en práctica de estrategias personales para analizar y resolver problemas, condiciones que pueden garantizar en mayor medida su aplicación. Además, permite confiar en lo que se sabe y se sabe hacer.
Otra característica de esta opción es la especial importancia que ha de darse a la utilización de las matemáticas en la comunicación habitual. Ello supone la necesidad de conseguir que los alumnos sean capaces de interpretar informaciones diversas y argumentaciones que utilicen conceptos, términos, representaciones y otros elementos relacionados con las matemáticas, del mismo modo facilita inclusión de estos elementos en su forma de expresión.
En tercer lugar, ha de limitarse en esta opción la utilización de representaciones simbólicas y, en general, de formalismos no estrictamente necesarios. Esto permite y exige, en la resolución de problemas, la adquisición de estrategias y destrezas con menor carga de lenguaje algebraico y mayor apoyo en lo aritmético, y por ello más próximas al significado de lo que se hace.
De las consideraciones anteriores se deduce que, si bien no existen contenidos exclusivos de esta opción, pueden marcarse algunos que podrían tener más relación con ella. Esto ocurre, por ejemplo, con los referidos a la lectura e interpretación de información gráfica (mapas y planos, gráficas estadísticas y funcionales, etc.). De la misma forma, algunos contenidos permiten un desarrollo y pormenorización diferente en cada opción. Así, por ejemplo, en el tratamiento de la proporcionalidad, en esta opción han de contemplarse con mayor detalle los números índices o el interés, que suponen respectivamente una ampliación y una aplicación de aquella.
Opción B:
La segunda opción se diferencia de la anterior principalmente por el mayor peso que debe darse a los aspectos formales. Esto supone dar más importancia a las capacidades relacionadas con el empleo de lenguajes simbólicos y representaciones formales, así como exigir una precisión más alta en la utilización de conceptos, términos y cantidades.
Con este carácter más formal está relacionada la incidencia más fuerte en los aspectos constructivos frente a los interpretativos. Así, por ejemplo, con respecto a la utilización del lenguaje gráfico, además del desarrollo de la capacidad de leer gráficas e interpretarlas en relación con el fenómeno que representan, debe tener una mayor presencia la construcción de gráficas que representen relaciones funcionales o estadísticas en una gama más amplia de situaciones y con una exigencia mayor en cuanto a la adecuación del resultado.
El manejo de objetos matemáticos ha de conducir a la obtención de una serie de destrezas que permitan utilizarlos con soltura. Para ello es preciso el aprendizaje de ciertos algoritmos de cálculo que hacen posible la resolución de determinados problemas de manera automática
Y que, si bien tienen el problema de alejarse más de su significado que otros métodos más informales, permiten enfrentarse a situaciones más complejas desde el punto de vista matemático.
Las consideraciones anteriores hacen pensar en la conveniencia de tratar algunos contenidos con mayor profundidad. Así, la capacidad de utilizar expresiones simbólicas y su correcta manipulación abre nuevas posibilidades en la resolución de problemas en los que sea necesario el tratamiento de ecuaciones y, por ejemplo, la utilización de las relaciones trigonométricas, en ese contexto.

Criterios de evaluación
1.– Utilizar los números enteros, decimales y fraccionarios, y los porcentajes, para intercambiar información y resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana.
Se pretende garantizar con este criterio la adquisición de un rango amplio de destrezas en el manejo de los distintos tipos de números, de forma que pueda compararlos, operar con ellos y utilizarlos para recibir y producir información.
El criterio se refiere a la utilización de números fraccionarios en contextos reales –y por ello con denominadores no excesivamente grandes–, con no más de dos operaciones encadenadas. Con respecto a los porcentajes, el criterio se refiere a su utilización como relación entre números y como operador en la resolución de problemas.
2.– Resolver problemas para los que se precise la utilización de las cuatro operaciones, las potencias y las raíces cuadradas con números enteros, decimales y fraccionarios, eligiendo la forma de cálculo apropiada y valorando la adecuación del resultado al contexto.
A través de este criterio puede valorarse si el alumno o alumna es capaz de asignar a las distintas operaciones nuevos significados, e interpretar resultados diferentes a los que se obtienen habitualmente con números naturales. Se pretende, además, que sean capaces de determinar cual de los métodos de cálculo (escrito, mental o con calculadora) es adecuado en cada situación, además de adoptar la actitud que lleva a no tomar el resultado del cálculo por bueno sin contrastarlo con la situación de partida.
3.– Apreciar y utilizar convenientemente aproximaciones por defecto y por exceso de los números, acotando el error, absoluto o relativo, en un contexto de resolución de problemas, desde la toma de datos hasta la solución.
Este criterio supone el manejo de los conceptos y procedimientos relacionados con la precisión, la aproximación y el error. Los alumnos y alumnas deben ser conscientes de la necesidad de utilizar en algunos casos números aproximados obtenidos por redondeo y truncamiento –y del error que se puede llegar a cometer con su uso.
4.– Interpretar relaciones funcionales dadas en forma de tabla o a través de una expresión algebraica sencilla, y representarlas utilizando gráficas cartesianas.
Este criterio supone el manejo de representaciones gráficas para, a partir de ellas, obtener información y expresar relaciones de distinto tipo. La información obtenida de las gráficas ha de ser global (aspectos generales de la gráfica, como el crecimiento, el rango, etc.) y local (obtención de pares de valores relacionados, etc.).
En cuanto a la realización de la gráfica, es exigible en este ciclo una mayor corrección, precisión en el trazado y claridad en la concepción (en la elección del tipo de gráfica y de las escalas adecuadas, en la determinación del intervalo que se representa, etc.).
5.– Resolver problemas de la vida cotidiana por medio de la simbolización de las relaciones que puedan distinguirse en ellos y, en su caso, de la resolución de ecuaciones de primer grado.
Este criterio va dirigido a comprobar que el alumnado es capaz de utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas. Para ello, ha de poner en juego la capacidad de utilizar los símbolos para el planteamiento de ecuaciones, con las convenciones de notación habituales, y resolver esas ecuaciones por algún medio fiable –que no necesariamente ha de ser la manipulación algebraica de las expresiones.
6.– Asignar e interpretar la frecuencia y probabilidad en fenómenos aleatorios de forma empírica, como resultado de recuentos por medio de cálculo (ley de Laplace) o por otros medios.
En este criterio, el énfasis reside en el proceso de asignación de probabilidades y en la interpretación que de ellas se haga, más que en la propia forma de expresión de la probabilidad. Puede ser válida la utilización de formas diferentes al tanto por uno, como el tanto por ciento o la proporción. En los casos de sucesos compuestos, el alumnado utilizara recursos para la asignación de probabilidades, como las consideraciones de simetría o la construcción de diagramas de árbol.
7.– Presentar e interpretar informaciones estadísticas teniendo en cuenta la adecuación de las representaciones gráficas y la significatividad de los parámetros, y valorando cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas.
Este criterio supone, por una parte, un conocimiento suficiente de los conceptos relacionados con el muestreo, las representaciones gráficas y las medidas de posición central y dispersión; de otro lado, una actitud que favorezca la reflexión sobre la oportunidad y el modo de utilización de estas técnicas. Además, se utilizarán técnicas estadísticas sencillas de recuento, construcción de tablas de efectivos, representación gráfica y cálculo de algunas medidas.
8.– Estimar la medida de superficies y volúmenes de espacios y objetos con una precisión acorde con la regularidad de sus formas y con su tamaño, y calcular superficies de formas planas limitadas por segmentos y arcos de circunferencia y volúmenes de cuerpos compuestos por ortoedros.
A través de este criterio, se pretende comprobar que los alumnos y alumnas han adquirido la experiencia necesaria para estimar superficies y volúmenes con una cierta precisión. El grado de aproximación con que se obtengan los volúmenes será menor que en los casos de magnitudes lineales o superficiales, y mucho más dependiente de la existencia de formas "regulares". En cuanto al cálculo, no se trata tanto de la aplicación de fórmulas como de la utilización de las nociones de superficie o volumen.
9.– Utilizar los conceptos de incidencia, ángulos, movimientos, semejanza y medida, en el análisis y descripción de formas y configuraciones geométricas.
Se pretende comprobar con este criterio que el alumno es capaz de utilizar los conceptos básicos de la geometría para conocer mejor el mundo físico que le rodea, que ha adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y que ha desarrollado las capacidades relacionadas con la visualización de formas y características geométricas. Conviene limitar el alcance del criterio de evaluación a figuras planas y espaciales con una cierta regularidad.
10.– Interpretar representaciones planas de espacios y objetos y obtener información sobre sus características geométricas (medidas, posiciones, orientaciones, etc.) A partir de dichas representaciones, y utilizando la escala cuando sea preciso.
Este criterio va dirigido a comprobar que el alumno o alumna han conseguido manejar, con la cantidad de información usual, las representaciones planas habituales de los objetos y espacios bi y tridimensionales. Han de ser capaces de expresar la información obtenida en dichas representaciones en términos de lo representado. Asimismo, este criterio requiere utilizar con soltura las escalas numéricas y gráficas.
11.– Identificar relaciones de proporcionalidad numérica y geométrica en situaciones diversas y utilizarlas para el cálculo de términos proporcionales, razones de semejanza y resolución de problemas.
Este criterio requiere, por una parte, ser capaz de distinguir cuando una relación es de proporcionalidad y cuando no lo es, a partir de la información de que se disponga: el propio análisis de la situación, representaciones gráficas, tablas de valores, etc.; Por otra, realizar cálculos que permitan averiguar cuartos proporcionales y razones de proporcionalidad. El dominio de la relación de proporcionalidad supone la capacidad de establecer y utilizar relaciones significativas entre las diversas formas de estudiarla: numérica, geométrica, gráfica y algebraica.
12.– Identificar y describir regularidades, pautas y relaciones conocidas en conjuntos de números y formas geométricas similares.
Este criterio pretende comprobar que el alumno y la alumna tienen recursos para percibir, en un conjunto o sucesión de objetos diferentes (números, formas geométricas, expresiones algebraicas, etc.), aquello que es común, la regla con la que se han construido, un criterio que permita ordenarlos, etc. El núcleo de este criterio no es tanto la forma en que se expresen las citadas regularidades o relaciones como el ser capaz de reconocerlas.
13.– Utilizar estrategias sencillas, tales como la reorganización de la información de partida, la búsqueda de ejemplos, contraejemplos y casos particulares, o los métodos de "ensayo y error", en contextos de resolución de problemas.
Este criterio se refiere a la manera de enfrentarse a la resolución de problemas, así como a alguna de las posibles estrategias que se puede poner en práctica. Debería tenerse en cuenta, a la hora de aplicar este criterio, la familiaridad del alumnado con los objetos de los que trata, la disponibilidad de información explícita y no excesivamente sobreabundante o la facilidad de codificación u organización de la información.