1. RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Los problemas aritméticos a que nos vamos a ceñir, son los que pueden resolverse con las cuatro operaciones básicas y sus distintas combinaciones. Su objetivo es resolver situaciones concretas por medio del razonamiento y del cálculo.

En la didáctica tradicional se cultivaban una serie de «problemas tipo» que servían, a «manera de archivo», para resolver «situaciones problemáticas tipo», que casi nunca se acercaban a situaciones reales y significativas y que, a parte de carecer de motivación intrínseca, mantenían una separación tajante con el mundo extraescolar del niño, no produciéndose una auténtica transferencia del aprendizaje al mundo espontáneo de éste.

La experiencia que el alumno trae a la escuela hay que aprovecharla en la formulación y resolución de problemas por los que pueda sentir interés. Debe ser el punto de partida del proceso psicodidáctico. Los primeros problemas serán aquellos con los que el alumno se encuentra, o pueda encontrarse, en su familia, en la escuela, en relación con sus compañeros, en sus juegos, en sus diversiones y costumbres, etc. Asimismo, y en razón al globalismo que posee el muchacho en los primeros niveles, la psicodidáctica del cálculo debe trabajarse en relación con las restantes materias del currículum.

Asimismo, existía una separación entre el estudio de las distintas operaciones aritméticas, que se realizaban de manera mecánica y sin conocer su significación real, y, más tarde, dominado su mecanismo, se aplicaban a la resolución de problemas. La todavía frecuente pregunta del alumno al profesor “X”, - cuenta tengo que poner en este problema?-, es reveladora de este tipo de didáctica. Para los alumnos en los que la didáctica de las operaciones ha estado separada de la resolución de situaciones problemáticas, la resolución de problemas se transforman en «auténticos jeroglíficos» donde, mediante la técnica de ensayo, se llega, casualmente, a la resolución de los mismos. Las sesiones de matemáticas, más que actividades para razonar, son actividades desagradables de «acertar o no acertar».

En relación con lo anterior, nos dice MIALARET que la resolución de un problema no debe revestir un aspecto misterioso, mágico; debe inscribirse en una toma de conciencia progresiva a las acciones ejecutadas y en un esfuerzo continuo de expresiones que debe realizar el acuerdo entre el pensamiento y la acción.

En la iniciación a la resolución de problemas, tanto en Preescolar como en los primeros cursos de Primaria, deben respetarse las etapas siguientes, ya formuladas para el aprendizaje de las operaciones aritméticas:

1. Manipulativa:

De entrada, no se le debe plantear a los alumnos problemas escritos. Hay que presentar al niño los objetos, los materiales, en la situación real y concreta que se quiere resolver, para que opere en un contexto significativo. «La manipulación», «la concretización», es precisa para que el alumno perciba, a través de sus acciones concretas, cuáles son las operaciones aritméticas que debe utilizar. Es conveniente, como ya se indicó para las operaciones, que los alumnos traduzcan, de manera verbal, lo que ha realizado de manera manipulativa (la conducta del relato).

 2. Gráfica:

Representar lo realizado, de manera manipulativa, en forma de dibujos o esquemas gráficos.

3. Simbólica (escrita):

Valiéndose de los símbolos numéricos y del texto escrito.

En lo que a la etapa del problema escrito se refiere, hay que tener en cuenta las siguientes observaciones:

a) Presentar cada dato numérico en un renglón. Ejemplo:

Pedro tiene 46 cromos.

Su hermano le regala 26 cromos.

Si pierde 13 cromos.

¿Cuántos cromos le quedan?

b) No abusar del excesivo verbalismo en la formulación de los problemas.

No tratar de que el alumno realice un comentario de texto o un ejercicio de lectura comprensiva. Se debe utilizar un vocabulario de uso habitual y significativo para el alumno. Es conveniente repetir los sustantivos antes que la utilización de pronombres.

c) En un principio, presentar los datos en el orden en que se debe operar con ellos. Más tarde, se podrán y deberán alterar los datos.

Como resumen, en lo que a la redacción del problema se refiere, ésta debe ser:

- Sencilla.

- Clara.

- Correcta.

- Enunciar los hechos cronológicamente, como se suceden, para evitar dificultades provenientes de su lectura.

lI. PASOS A TENER EN CUENTA EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA ESCRITO

Presentando un problema en forma escrita para su resolución hay que tener en cuenta los pasos siguientes:

a) Lectura atenta del texto:

Consiste en prestar atención a los datos del problema y al texto, para inferir si tiene o no solución. Se les induce a separar lo que es «dato» (lo conocido) de lo que es «pregunta» (lo desconocido).

Se podría elaborar un protocolo verbal, gráfico o escrito para clarificar el enunciado y comprenderlo inmediatamente. Hay que comprender que la integración rápida de un texto les es muy difícil después de una simple lectura. Las situaciones problemáticas se caracterizan por su condición de «sincréticas» y se resuelven por procesos de «análisis- síntesis».

Cuando el alumno lee por primera vez el enunciado de un problema, éste se le presenta como una cuestión global, como una totalidad donde las partes se diluyen en el todo. Hay que ejercitarlo para que analice el enunciado; es decir, que lo divida en sus partes y pueda tomar, y resolver, cada una de ellas en relación con las restantes partes y con el enunciado total del problema. Este proceso, «analítico-sintético», deberá ejercitarse, explícitamente, hasta que el alumno resuelva los problemas de un solo vistazo a gran velocidad.

b) Presentación de los ejercicios:

1. Descomposición del texto leído en sus elementos o partes. Ejemplo:

Compro 3 lápices a 5 pesetas cada uno.

Entrego al tendero 25 pesetas.

¿Cuánto valen los lápices? ¿Cuánto me devolverá?

Primer dato:

¿Qué compro?: 3 lápices.

Segundo dato:

¿Cuánto vale un lápiz?: 5 pesetas.

Tercer dato:

¿Cuánto dinero entrego al tendero?: 25 pesetas.

Primera cuestión:

(Dato a descubrir.)

¿Cuánto valen los 3 lápices?

Segunda cuestión:

¿Cuántas pesetas me devolverá?

Hay que cerciorarse de que los alumnos han memorizado todos los datos del problema y recuerdan todas las preguntas que plantea el problema. Que sea capaz de memorizar el problema es una forma de comprobar que ha comprendido lo que se espera de él.

Conviene que, en una primera fase, hasta que los alumnos estén más impuestos con lo escrito, traduzcan el problema a una realización concreta del mismo, mediante la correspondiente dramatización o simulación.

A continuación, los alumnos deben representar el problema de una manera gráfica, respetando, a cada uno, su representación.

Es conveniente que el profesor utilice la esquematización, tanto para una mejor comprensión intuitiva de los problemas (por parte de los alumnos) como para que los propios alumnos acudan a este recurso, por iniciativa propia, como facilitación en la resolución de los mismos.

Como ejemplos de «esquematización»:

1. Un niño compra 5 cuadernos a 92 céntimos cada uno cada uno y 2 bolígrafos a 34 céntimos cada uno.

¿Cuántos céntimos gastó?

     92 céntimos cada uno  5 X 92

34 céntimos cada uno  2 X 34

 5 X 92 + 2 X 34=

2. Un terreno vale 248 euros.

¿Cuántas euros valdrá un terreno 3 veces mayor?

3. Un camino tiene 28 kilómetros.

Un hombre lleva recorridos 14 kilómetros.

¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer?

c) Razonamiento:

Se trata de ver qué tipo de razonamiento lógico puede llevar a la resolución del problema. Concebir un plan, imaginar una estrategia para alcanzar la solución o soluciones. A veces se pueden valer de analogía con otros problemas afines ya resueltos. En algunos casos, tras distintos ensayos, surge el «eureka» de KÓHLER la intuición, la «idea feliz».

d) Elección de las técnicas operatorias más adecuadas:

En la fase mecánica de la resolución del problema el alumno utiliza las técnicas operatorias (suma, resta, multiplicación o división) de acuerdo con las ideas elaboradas en la fase de razonamiento.

Una de las mayores dificultades con las que se encuentra el alumno que no ha operativizado los significados de las distintas operaciones aritméticas es la traducción simbólica, en términos numéricos, de las ideas lógicas ya formuladas. Son alumnos capaces de resolver los problemas mentalmente, «de cabeza», pero no con los algoritmos operatorios correspondientes. Es conveniente, en estos casos, proceder a la reeducación de los distintos significados de las operaciones aritméticas y al trabajo de los verbos de acción que las traducen.

Darlas soluciones correspondientes y examinarlas (comprobación):

Esta última fase es de sumo interés. La verificación de la solución, o soluciones, genera en el alumno la conciencia de la importancia práctica del cálculo, de la manipulación cuantitativa de la realidad que le rodea. Asimismo, al tener que dar una explicación comprobatoria de la solución, hace más comprensivo el proceso, que, en este caso, se convierte en reversible. 

III. MODALIDAD DE PROBLEMAS A PROPONER

a) Dadas las operaciones, que los alumnos redacten, verbalmente o por escrito, enunciados de problemas que le puedan corresponder. Constituye una aplicación de los principios de variabilidad perceptiva y dinámica.

b) Dadas preguntas, o cuestiones, redactar los enunciados de los problemas.

Ejemplo:

¿Cuántos lápices compré?

¿Cuántas pesetas me devolvieron?

c) Reconocer datos superfluos o innecesarios. Ejemplo:

Antonio tiene 15 pesetas.

Su madre le da 3 caramelos.

Si gasta 8 pesetas en una libreta.

¿Cuánto dinero le queda?

d) Que invente problemas que se realicen con las distintas operaciones y sus combinaciones.

Este tipo de ejercicios obliga al alumno a trabajar con lógica, desarrolla la imaginación matemática y habitúa al alumno a manejar un lenguaje y un vocabulario no dominado todavía. El alumno que sea capaz de inventar y resolver un problema, es, totalmente seguro, que lo ha asimilado.

e) Proponer problemas donde sean aplicables operaciones aritméticas inversas (suma-resta, multiplicación-división).

1. Suma-resta:

I Situac           II Situac.         lll.Situac

Juan tiene           7                      ?                       7

Pedro tiene         5                      5                       ?

Tienen juntos      ?                     12                    12

Plantea las siguientes operaciones aritméticas:

7 más 5 =12

12 menos 5 = 7

12 menos 7= 5

 Asimismo, distintas situaciones problemáticas

2. Multiplicación- división:

            I Situac.    II Situac.    III Situac

Cantidad total a distribuir                  40                 40               ?

Sujeto a quien se distribuye                 5                    ?               5

Cantidad que corresponde a

cada uno                                            ?                    8               8

Plantea las siguientes operaciones:

40 dividido 5=

5 por  =40

8 por 5 =

f) Enunciados de problemas, donde falten datos o estén mal formulados, a fin de que los alumnos descubran el error. Les ayuda a discurrir, evitando la resolución automática, a veces, de los problemas.

g) Enunciados de problemas, donde se planteen situaciones extrañas o imposibles. Ejemplo:

Si tengo 25 kilogramos de patatas.

Y gasto 24 pesetas.

¿Cuántos kilogramos de patatas me quedan?

h) Propuesta de problemas divergentes o que cultiven la creatividad. Es evidente que, en la vida ordinaria, no se plantean comúnmente problemáticas cerradas, sino problemáticas divergentes, abiertas. En la vida real, los problemas no vienen formulados en términos de preguntas. Somos nosotros los que nos formulamos nuestras propias hipótesis para buscar las correspondientes respuestas. Ejemplo:

1. Si debes 25 pesetas. ¿Qué podrías hacer?

2. Si tienes «X» pesetas. ¿Qué podrías hacer con ellas?

¡) Problemas que permitan distintas composiciones de datos. Ejemplo:

Dado un conjunto de objetos con sus precios. Tienes 36 pesetas.

¿Qué podrías comprar, de las cosas anteriores, para que no te sobre ni te falte nada?

J) Falsas relaciones. Ejemplo:

Si un niño tarda en venir a la escuela 20 minutos.

¿Cuántos minutos tardarán cuatro niños?

k) Problemas que exijan, de los alumnos, el procedimiento para resolver problemas sin números. Ejemplo:

1. Si tú supieras lo que vale un lápiz. ¿Cómo calcularías lo que valen varios?

2. Si tu supieras lo que cuestan varios lápices. ¿Cómo averiguarías lo que vale uno?

3. Pedro quiere saber cuántas pesetas se tendrá que gastar en gasolina para ir de Sevilla a Córdoba.

¿Qué datos tendrá que conocer?

¿Qué operaciones ha de hacer para saber el costo?

1) Aplicar el método analógico.

Si el alumno ha realizado problemas con números más simples, que los realicen con números más complejos aplicando los mismos principios.

II) Resolución de problemas mediante el cálculo mental.

Rara vez en la vida ordinaria utilizamos papel y lápiz en la resolución de problemas.

El alumno deberá descubrir, indistintamente, cómo la aplicación de las propiedades numéricas puede simplificar las dificultades matemáticas (conmutativa, asociativa, distributiva, etc.). Ejemplos:

1. Juan tenía 13 cromos. Compra 49 cromos.

¿Cuántos cromos tiene en total?

- Operación aritmética.

49+13=

- Solución mediante cálculo mental.

a) 49+13= 49+10+3=59+3=62

b) 49+1 3= (40÷1 0)+ (9+3)=50+1 2=62

2. Pedro compró 4 docenas de huevos. ¿Cuántos huevos compró?

-Operación aritmética.

4X12=

- Solución mediante cálculo mental.

4X1 2= 4X (1 0+2)=40+8=48

3. José leyó 78 páginas de su libro durante 6 días. ¿Cuántas páginas leyó cada día?

- Operación aritmética.

78 : 6=

- Solución mediante cálculo mental.

78 : 6= (60+18) :6 -  - 10+313

- = (60 : 6)+(18 : 6)=-

m) Resolución de problemas por estimación. Ejemplo:

La suma de 29, 71 y 42 se calcularía por la suma de 30 + 70 + 40.

Si multiplicamos 48 por 7 1/2, se estimaría multiplicando 50 x 7.

Esta ejercitación permitiría, incluso, la comprobación o prueba de los problemas de papel y lápiz.

n) Dados los datos de un problema, que los alumnos formulen las preguntas. De esta manera, los alumnos prestarán una mayor atención a la lectura del problema en cuestión. Ejemplo:

Juan tenía 46 canicas. Perdió 16 canicas. ¿ ?

ñ) Proponer situaciones problemáticas de las que sean posibles formular varias preguntas. Ejemplo:

El equipo «x» ganó 12 partidos de 30 jugados.

El equipo «y» ganó sólo 8 partidos.

- partidos perdió el equipo «x»?

- partidos perdió el equipo «y»?

- partidos ganó más el equipo «x» que el «y»?

- partidos perdió más el equipo «y» que el «x»?

- partidos ganan entre los dos?

- partidos pierden entre los dos?