Superposición de ondasSuma de ondas con perturbaciones de igual dirección
La perturbación que experimenta un punto sometido a dos ondas será la suma de las perturbaciones producidas por cada onda.
Sean dos focos emisores de onda de la misma naturaleza, velocidad de las ondas iguales, y sea un punto situado a una distancia r1 del foco emisor F1 y a una distancia r2 del foco F2 . Las perturbaciones en dicho punto serán:
y1 = A1 · sen ( w1 .t - k1 .r1 ) y2 = A2 · sen ( w2 .t - k2 .r2 ) siendo v = w1 / k1 = w2 / k2
la perturbación resultante será la suma vectorial de las perturbaciones individuales:
Suma de ondas con perturbaciones de igual dirección
Sean dos focos emisores de onda de la misma naturaleza, velocidad de las ondas iguales v = w1 / k1 = w2 / k2, y sea un punto situado a una distancia r1 del foco emisor F1 y a una distancia r2 del foco F2 . Las perturbaciones en dicho punto serán:
y1 = A1 · sen ( w1 .t - k1 .r1 ) y2 = A2 · sen ( w2 .t - k2 .r2 )
la perturbación resultante será:
y = y1 + y2 = A1 · sen ( w1 .t - k1 .r1 ) + A2 · sen ( w2 .t - k2 .r2 ) = ... = A . sen y
una manera de determinar los parámetros A y y del resultado de sumar esas funciones trigonométricas, es mediante un diagrama fasorial:
Aplicando el teorema del coseno:
A2 = A12 + A22 - 2.A1.A2. cos [180 -(y1 - y2 )]
A = [ A12 + A22 + 2.A1.A2. cos (y1 - y2 )]1/2
Aplicando el teorema del seno:
A1 / sen (y - y2 ) = A / sen [180 - (y1 - y2 )]
y = y2 + arc sen [ A1 .sen (y1 - y2) / A]
O bien:
y = arc tg [ (A1 .sen y1 + A2 .sen y2) / (A1 .cos y1 + A2 .cos y2)]
siendo: y1 = w1 .t - k1 .r1 y2 = w2 .t - k2 .r2
En el siguiente applet en CabriJava se pueden variar los parámetros de las ondas señalando y arrastrando el ratón:
En el siguiente applet puede variar la posición de los focos para obligar que el punto sea un "nodo" o un "vientre"
Si las dos ondas tienen la misma frecuencia: w1 = w2 = w , k1 = k2 = k , entonces
y1 = w.t - k.r1 y2 = w.t - k.r2 --> y1 - y2 = k.(r2 - r1)
A = [ A12 + A22 + 2.A1.A2. cos k.(r2 - r1)]1/2
y = w .t - k .r2 + arc sen [ A1 .sen k.(r2 - r1) / A ]
La amplitud resultante tiene un valor máximo A = A1 + A2 cuando cos k.(r2 - r1) = 1 , es decir cuando (r2 - r1) = 2.n. l / 2,
cuando la diferencia de caminos es múltiplo par de semilongitudes de onda.
La amplitud resultante tiene un valor mínimo A = A1 - A2 cuando cos k.(r2 - r1) = -1 , es decir cuando (r2 - r1) = (2.n + 1). l / 2,
cuando la diferencia de caminos es múltiplo impar de semilongitudes de onda.
Si además tienen la misma amplitud: A1 = A2 = Ao
A = [ Ao2 + Ao2 + 2.Ao.Ao. cos k.(r2 - r1)]1/2 = Ao . [ 2. (1 + cos k.(r2 - r1)]1/2 = 2.Ao.cos[k.(r2 - r1)/2]
y = w .t - k .r2 + arc sen [ Ao .sen k.(r2 - r1) / A] = w .t - k .r2 + arc sen [ Ao .sen k.(r2 - r1) / [2.Ao.cos[k.(r2 - r1)/2]] =
= w .t - k .r2 + arc sen [ Ao .sen[2. k.(r2 - r1)/2] / [2.Ao.cos[k.(r2 - r1)/2]] =
= w .t - k .r2 + arc sen [ Ao .2.sen [k.(r2 - r1)/2]. cos [k.(r2 - r1)/2] / [2.Ao.cos[k.(r2 - r1)/2]] =
= w .t - k .r2 + arc sen [sen [k.(r2 - r1)/2] = w .t - k .r2 + k.(r2 - r1)/2 = w.t - k(r1+r2)/2
y = 2.Ao.cos[k.(r2 - r1)/2] . sen[w.t - k(r1+r2)/2]
La amplitud resultante tiene un valor máximo A = 2.Ao , Vientre, cuando cos k.(r2 - r1) = 1 , es decir:
Vientres cuando (r2 - r1) = 2.n. l / 2, la diferencia de caminos es múltiplo par de semilongitudes de onda.
La amplitud resultante tiene un valor mínimo, nulo, A = 0, Nodo, cuando cos k.(r2 - r1) = -1 , es decir:
Nodos cuando (r2 - r1) = (2.n + 1). l / 2, la diferencia de caminos es múltiplo impar de semilongitudes de onda.
En el siguiente applet dos focos F1 y F2 emiten ondas iguales; la distancia entre dos circunferencias consecutivas es una longitud de onda; los vientres son los puntos intersección de las circunferencias y los nodos son los puntos medios entre dos nodos; puede desplazar el punto P y comprobar que en dichos puntos se verifica la condición de la diferencia de caminos.